§ 5. Сложение движений

В этом параграфе будут рассмотрены третья и четвертая ситуации, о которых шла речь в § 1 (рис. 1.1, в и г). Исследованию этих ситуаций мы предпошлем формальное определение сложения движений.

Сложением двух движений называется процедура определения скорости и ускорения точек греческой среды (оси , ) относительно некоторой латинской среды (оси ), если задано движение греческой среды относительно «промежуточной» среды (оси ), которая сама движется заданным образом относительно латинской среды. Аналогично определяется сложение движений — в этом случае рассматривается сред, движущихся одна относительно другой. Во всех случаях такого рода Движение называется сложным.

Рис. 1.18.

Мы начнем изучение сложного движения с простейшего случая — сложного движения точки (рис. 1.1, в), затем вернемся к случаю движения системы отсчета (который в начале этой главы привел нас к задаче о сложении движений) и, наконец, рассмотрим общий случай сложного движения, в котором рассматривается систем отсчета (рис. 1.1, г).

1. Сложное движение точки.

Рассмотрим случай, когда геометрическая точка движется относительно некоторой системы отсчета, в свою очередь движущейся относительно «неподвижной» системы. Как и ранее, греческую систему координат (начало О) будем считать выбранной в «подвижной» системе, а латинскую систему координат (начало ) — в «неподвижной» системе.

Орты греческой системы и координаты ее начала являются функциями времени. Тогда А движется относительно греческой системы. При этом, вообще говоря, и греческие, и латинские ее координаты будут зависеть от времени. Движение точки А относительно греческой системы отсчета называется относительным движением; «сложное» движение точки А относительно латинской системы отсчета называется абсолютным движением, а движение греческой системы отсчета относительно латинской — переносным движением.

Пусть — радиусы-векторы точки А в латинской и греческой системах отсчета соответственно. Тогда (рис. 1.18)

или

Вычислим скорость точки А в абсолютном движении. С этой целью продифференцируем последнее равенство по t, считая греческие координаты точки радиус-вектор и орты функциями от :

Для того чтобы вычислить скорость в относительном движении (ее обозначают ), надо при дифференцировании считать функциями t лишь координаты и тогда и

Скоростью точки А в переносном движении (ее обозначают ) называется скорость, которую имеет относительно латинской системы отсчета та точка греческой системы, в которой в рассматриваемый момент находится точка А. Иначе говоря, это та скорость, которую имела бы точка А, если в этот момент она «примерзла» бы к греческой системе и далее двигалась бы вместе с ней. Поэтому, чтобы определить , надо при дифференцировании считать , а это дает

Сравнивая найденные выражения для , устанавливаем, что

т. е. скорость точки А относительно латинской системы отсчета (абсолютная скорость) равна ее скорости относительно греческой системы отсчета (относительная скорость) плюс скорость относительно латинской системы той точки греческой системы, в которой находится в этот момент точка А (переносная скорость).

При выводе этого правила сложения скоростей в сложном движении мы существенно использовали основное предположение о том, что момент времени t одинаков в обеих системах — латинской и греческой.

Если рассматривать t как параметр, то равенство (34) выражает лишь геометрический факт — связь между производными по параметру от функций, зависящих от этого параметра, в различных системах координат. Но если параметр t понимается как время, то правило (34) оказывается верным лишь тогда, когда время в латинской и греческой системах протекает одинаково и когда для этих сред имеет смысл понятие одновременности, т. е. когда могут быть указаны в них одинаковые моменты времени. Отказ от этого предположения является краеугольным камнем релятивистской механики Эйнштейна, в которой формула (34) уже неприменима.

Вернемся теперь к равенству (31) и продифференцируем его еще раз:

Если мы интересуемся относительным движением, то считаем неподвижной греческую систему отсчета, т. е. полагаем

что дает следующую формулу для относительного ускорения :

В переносном же движении не изменяются греческие координаты, т. е. и переносное ускорение равно

Сопоставляя формулы (35), (36) и (37), устанавливаем, что, в отличие от скорости, абсолютное ускорение не равно сумме ускорений в переносном и относительном движениях. Для того чтобы получить абсолютное ускорение, надо к переносному и относительному ускорениям добавить еще дополнительное или кориолисово ускорение

так что

Выше (см. § 3) мы уже установили, что любое движение одной системы отсчета относительно другой (рис. 1.1, б) может быть представлено как сумма поступательного движения и движения с неподвижной точкой.

При поступательном движении греческой системы ее орты не изменяются, . Поэтому при подсчете шкор существенно лишь движение с неподвижной точкой. Но при этом движении, в силу доказанной выше теоремы, всегда существует вектор со такой, что скорости всех точек определяются по формуле (23). Поэтому скорости концов ортов таковы:

Подставляя эти формулы в равенство (38), получаем

или, учитывая формулу (32),

т. е. кориолисово ускорение некоторой точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на скорость точки в ее относительном движении. Таким образом, дополнительное (кориолисово) ускорение не возникает не только тогда, когда переносное движение является поступательным, но и тогда, когда скорость относительного движения равна нулю или параллельна вектору угловой скорости переносного движения.

2. Движение одной системы отсчета. относительно другой.

Вернемся теперь к случаю движения одной системы отсчета относительно другой (рис. 1.1, б). Выше было показано, что любое движение системы отсчета можно рассматривать как ее поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной ее точки , плюс движение системы отсчета с неподвижной точкой (рис. 1.12).

Введя вспомогательную систему отсчета , движущуюся поступательно со скоростью , и считая движение этой системы переносным, а движение системы отсчета с неподвижной точкой относительным, можно использовать формулы (34) и (39). При этом следует учесть, что в данном случае — так как переносное движение является поступательным.

В результате устанавливаем, что при произвольном движении одной системы отсчета относительно другой

В этих равенствах и — скорость и ускорение произвольной точки А движущейся системы, а и — угловая скорость и угловое ускорение движущейся системы в ее движении относительно системы , т. е. в движении с неподвижной точкой .

Если рассматривается движение какой-либо точки относительно системы отсчета, движущейся произвольным образом, то движение этой системы отсчета можно принять за переносное. Тогда формулы (41) будут служить для определения переносных скоростей и ускорений, и вектор , входящий в эти формулы, будет играть роль переносной угловой скорости — именно он войдет в выражение (40) для подсчета кориолисова ускорения.

3. Общий случай сложения движений.

Рассмотрим систем отсчета, движущихся одна относительно другой (рис. 1.1, г): первая система (координаты ) движется относительно «нулевой» (координаты ); вторая система (координаты ) — относительно первой системы; последняя, система (координаты ) — относительно (координаты ).

Предполагается, что известна скорость относительного движения каждой «последующей» системы относительно «предыдущей» системы относительно , этой системы относительно ; требуется определить скорости движения системы относительно «нулевой» .

Рассмотрим сначала движение только системы относительно . Можно считать, что точки системы совершают сложное движение: относительным является движение системы относительно (со скоростью ), а переносным—движение системы относительно (со скоростью ). «Абсолютные» скорости точек системы относительно (обозначим их ) равны

Теперь можно исключить из рассмотрения систему и рассматривать движение системы относительно как относительное, движение системы относительно — как переносное (со скоростью ), а движение системы относительно (со скоростью ) — как абсолютное.

Тогда

и можно исключить из рассмотрения систему.

Продолжая процесс последовательного исключения систем отсчета, определим скорости точек системы относительно «нулевой»:

При движении многих систем отсчета одна относительно другой скорость точки системы относительно «нулевой» равна сумме скоростей, которые в этой точке имеет каждая система отсчета относительно предыдущей.

В связи с тем, что сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, скорость не зависит от того, в каком порядке нумеруются системы.