§ 120. Испускание мягких фотонов с ненулевой массой

При вычислении электронных формфакторов в § 117 мы столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах эиртуальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждавшейся уже в § 98 инфракрасной катастрофой. Там было указано, что сечение любого процесса с участием заряженных частиц (в том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого диаграммой вида (117,1)) имеет смысл не само по себе, а лишь при учете одновременного излучения любого числа мягких фотонов. Как будет подробно объяснено ниже (см. § 122), в суммарном сечении, учитывающем излучение мягких фотонов, все расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получения правильного результата предварительное «обрезание» расходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно производиться одинаковым образом.

В § 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона X. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в § 98 формулы так, чтобы они описывали излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой.

С формальной точки зрения такой фотон относится к «векторным» частицам со спином 1, свободное поле которых рассматривалось в § 14. Оно описывается 4-векторным -оператором

(120,1)

(здесь изменены обозначения и нормировка по сравнению с (14,16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем).

Взаимодействие «фотонов» (120,1) с электронами надо описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов:

(120,2)

(с заменой операторов потенциала на ). Тогда амплитуды процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отличием, что

(120,3)

Суммирование же по поляризациям испущенного фотона должно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризованных частиц

(ср. (14,15)) с последующим умножением на 3.

Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой

(ср. (76,18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов:

(120,5)

которым мы и пользовались в § 117, 119).

Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в § 98 смысле) фотонов.

Произведенный в § 98 вывод формул (98,5-6) переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов ) в знаменателях электронных пропагаторов прибавляется член В результате вместо (98,6) получим

где — сечение того же процесса без излучения мягкого фотона (который называем условно «упругим» процессом). В дальнейшем при интегрированиях по будут существенны значения . При этом так что членами в знаменателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью (120,4). После сделанного пренебрежения второй член в (120,4) не дает вклада в сечение, и остается

Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98,7), в которой, однако, надо понимать теперь как

(120,7)

Формула (120,6) имеет совершенно общий характер. Она применима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего интегрирования по зависит от 4-векторов , иными словами, от характера основного процесса рассеяния.

Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда

и определим полную вероятность испускания фотонов с частотой, меньшей некоторого при этом предполагается, что

а сверху значение сотах ограничено условиями применимости теории излучения мягких фотонов (98,9-10).

Вычислим прежде всего интеграл по в нерелятивистском пределе. При имеем

Интегрирование этого выражения по направлениям k дает

После этого имеем из (120,6)

или, произведя интегрирование в предположении

В общем релятивистском случае для вычисления интеграла воспользуемся формулой (131,4). С ее помощью имеем для интеграла по углам

или, раскрыв скалярные произведения с

Интеграл легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль вектора после чего

Два других интеграла (с в знаменателях) получаются отсюда при Заметив также, что

получим

(120,10)

Интегрирование по сводится к вычислению интегралов вида

Во втором интеграле подставлено и верхний предел заменен на что допустимо ввиду сходимости интеграла.

Возникающие затем интегралы по в (120,10) не могут быть полностью выражены через элементарные функции. Результат представим в виде

(120,11)

где

(120,13)

Найдем асимптотическое выражение для сечения в ультрарелятивистском случае. При этом предполагается, что не только , но и , т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих условиях в интеграле (120,13) существенна область значений х, в которой ; после соответствующих пренебрежений

Интеграл надо обрезать при , т. е. при снизу и при сверху. Тогда

Эта формула справедлива с точностью до квадратов логарифмов, как говорят, с дважды логарифмической точностью. С этой же точностью достаточно положить в первом члене в (120,11)

Окончательно

(120,14)