§ 122. Радиационные поправки к рассеянию электрона во внешнем поле

Перейдем к вычислению радиационных поправок к рассеянию электрона во внешнем поле (J. Schwinger, 1949).

Соответствующая часть амплитуды рассеяния изображается двумя диаграммами (121,2). Диаграмма а) дает в амплитуду вклад

где — поляризационный оператор, отвечающий петле в диаграмме. Вклад диаграммы б):

где — поправочный член в вершинном операторе ; согласно (116,6)

Сложив оба вклада, получим

Обсудим прежде всего вопрос об инфракрасной расходимости, содержащейся в формфакторе а тем самым и в амплитуде рассеяния (122,1).

Уже было указано (см. § 98), что точная амплитуда чисто упругого рассеяния сама по себе равна нулю, т. е. не имеет смысла. Физическим смыслом обладает лишь амплитуда рассеяния, определенного как процесс, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов с энергией каждого меньшей некоторого заданного значения удовлетворяющего условиям применимости теории излучения мягких фотонов. Другими словами, имеет смысл лишь сумма

где — сечение рассеяния без испускания фотонов, — дифференциальная вероятность испускания электроном фотона частоты . При этом предполагается, что само вычисляется в виде ряда теории возмущений, т. е. в виде разложения по степеням Тогда после сведения вместе членов каждого порядка по а из всех слагаемых в (122,2) мы получим в виде разложения по а, каждый из членов которого будет конечным .

В первом борновском приближении . Этот член, естественно, имеет смысл сам по себе. Если же мы хотим учесть следующую поправку в (член ), то наряду с ней надо взять также и второй член в сумме (122,2): поскольку а, при умножении на отсюда тоже возникает величина Покажем, что при сложении этих двух величин инфракрасная расходимость устраняется.

Расходящийся член в формфакторе f согласно (117,17) имеет вид

Соответствующий член в амплитуде (122,1):

а в сечении рассеяния (121,5):

Сравнив это с борновским сечением

найдем, что

С другой стороны, второй член в (122,2) с из (120,11) дает

(122,4)

Наконец, сложив (122,3) и (122,4), получим

(122,5)

Мы видим, что расходящийся вклад от мягких (j к виртуальных фотонов действительно сокращается с вкладом излучения таких же реальных фотонов. Та же ситуация имеет место в любом другом процессе рассеяния.

В то же время появляется зависимость сечения рассеяния от Эта зависимость — следствие того, что величина (отах входит в самое определение рассеяния как процесса, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов. Естественно что сечение такого процесса будет тем меньше, чем ниже предел сотах частот фотонов, испускание которых мы еще относим к данному процессу рассеяния.

Найдем теперь полное выражение для радиационной поправки к сечению рассеяния. Поступая по стандартным правилам (см. (65,7)), находим для сечения, усредненного по поляризациям начального и просуммированного по поляризациям конечного электронов:

(122,6)

Согласно (122,1)

С точностью до членов, линейных по , след в (122,6) равен

Поэтому

(122,7)

где — борновское сечение рассеяния неполяризованных электронов (80,5); формфактору приписан индекс к для напоминания о том, что он «обрезан по массе фотона

Остается прибавить к (122,7) сечение испускания мягких фотонов. Если представить в виде

(122,8)

то согласно (120,11) это добавление сведется к замене в (122,7) h на

(122,9)

С этой заменой (122,7) дает окончательный ответ.

Отметим, что в нерелятивистском пределе

Обратим внимание на то, что специфика внешнего поля входит в радиационную поправку к сечению только через посредство множитель же в фигурных скобках в (122,7) имеет универсальный характер.

В нерелятивистском приближении

(122,11)

(сюда входят вклады от всех членов в (122,7)). В обратном же, ультрарелятивистском, случае основной вклад вносит только член с и получается

(122,12)

Отметим в заключение, что рассмотренные здесь радиационные поправки не приводят к появлению каких-либо поляризационных эффектов, отсутствующих в первом борновском приближении (в отличие от поправок второго борновского приближения, рассмотренных в § 121). Дело в том, что специфика первого борновского приближения в конечном счете связана с эрмитовостью 5-матрицы. Это свойство, однако, сохраняется и при учете рассмотренных радиационных поправок, поскольку в этом приближении отсутствуют какие-либо реальные промежуточные состояния в канале рассеяния (так что правая часть соотношения унитарности обращается в нуль).