§ 28. Билинейные формы

Рассмотрим трансформационные свойства различных билинейных форм, которые можно составить из компонент функций Такие формы вообще имеют большое значение в квантовой механике; к их числу относится и 4-вектор плотности тока (21,11).

Поскольку имеют по четыре компоненты, из них можно составить 4•4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Классификация этих величин по их трансформационным свойствам очевидна из перечисленных в § 19 способов перемножения двух произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются ). Именно, можно составить скаляр (обозначим его S), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный истинному 4-вектору (четыре независимых величины), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный 4-псевдо S, псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный антисимметричному 4-тензору (шесть величин).

В симметричном виде (для любого представления ) эти комбинации записываются следующим образом:

где

(перечисление компонент в (28,2) по (19,15))). Все написанные выражения вещественны.

Скалярность и псевдоскалярность величин S и Р очевидна из их спинорного представления:

что как раз соответствует выражениям (19,7) и (19,8). Векторный характер величин очевиден после этого из уравнения Дирака: умножив равенство слева на получим

поскольку справа стоит скаляр, скаляром должно быть и выражение в левой части.

Правило составления величин (28,1) очевидно: они составляются так, как если бы матрицы образовывали 4-вектор, было псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон образовывали вместе скаляр. Отсутствие билинейных форм, которые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из спинорного представления, ясно и из этого правила: поскольку симметричная комбинация матриц такая форма свелась бы к скаляру.

Вторично-квантованные билинейные формы получаются заменой в (28,1) -функций -операторами. Для большей общности будем считать, что два -оператора относятся к полям различных частиц; будем различать их индексами а и Выясним, как преобразуются такие операторные формы при зарядовом сопряжении. Замечая, что

имеем, используя (26,3) и (26,21):

При перестановке операторов к исходному порядку слева от в силу правил коммутации Ферми (25,4) изменится знак произведения кроме того, появятся члены, не зависящие от состояния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в § 13). Таким образом, получим

Преобразовав аналогичным образом также и остальные формы, найдем, что при зарядовом сопряжении

Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм при обращении времени. При этом надо помнить (см. § 13), что эта операция связана с изменением порядка расположения операторов, и поэтому, например,

Подставив сюда

получим

Рассмотрев таким же образом остальные формы, найдем

( — трехмерные векторы, эквивалентные компонентам 1 согласно (19,15)).

При пространственной же инверсии, в соответствии с тензорным характером величин

Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет все неизменными и меняет знак всех что как раз соответствует смыслу этого преобразования как 4-инверсии: поскольку 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы координат, то по отношению к ней нет разницы между истинными и псевдотензорами любого ранга.

Рассмотрим попарные произведения билинейных форм, составленных из четырех различных функций Мы получим различные результаты в зависимости от того, какие пары этих функций перемножаются между собой. Оказывается, однако, возможным свести всякое такое произведение к произведениям билинейных форм с фиксированными парами множителей (W. Pauli, М. FJerz, 1936).

Выведем соотношение, лежащее в основе такого приведения.

Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц

(I — единичная матрица). Перенумеровав эти матриц в какой-либо определенной последовательности, обозначим их посредством а те же матрицы с опущенными 4-тензорными индексами посредством . Они обладают следующими свойствами:

В силу последнего из этих свойств матрицы линейно независимы. Поскольку же их число равно числу (4-4) элементов четырехрядной матрицы, матрицы составляют полную систему, по которой может быть разложена произвольная четырехрядная матрица Г:

(28,10)

или в раскрытом виде с матричными индексами :

Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один отличный от нуля элемент получим искомое соотношение («условие полноты»)

Умножая это равенство с обеих сторон на имеем

(28,12)

Это — одно из равенств указанного выше типа: оно сводит произведение двух скалярных билинейных форм к произведениям форм, составленных из других пар множителей.

Другие равенства этого типа можно получить из (28,12), заменяя

и пользуясь разложением

(см. задачу).

Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное (28,11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему линейно независимых двухрядных матриц составляют

(28,13)

Для них

(28,14)

Условие полноты:

или иначе:

(28,16)

Задача

Вывести формулы, аналогичные (28,12), для скалярных произведений двух билинейных форм Р, V, А, Т.

Решение. Обозначим:

а теми же буквами со штрихом — такие же произведения с переставленными Указанным в тексте способом получим:

(первая строка по формуле (28,12)).