Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Отклонение от проективно-эвклидовостиРассмотрим м-мерное риманово многообразие. Если для любой координатной окрестности этого многообразия существует взаимнооднозначное соответствие между этой окрестностью и областью эвклидова пространства такое, что всякой геодезической линии риманова многообразия соответствует прямая линия эвклидова пространства, то говорят, что риманово многообразие является локально проективно-эвклидовым. Для
Из условия
следует, что
откуда
Подставляя это выражение в (5.11), мы найдем
Это показывает, что наше многообразие имеет постоянную кривизну. Обратно, если многообразие является многообразием постоянной кривизны, то его тензор кривизны Римана — Кристоффеля имеет вид (5.12), а тензор Риччи
в (3.6), мы найдем, что
Для измерения отклонения от проективно-эвклидовости введем величину
Теперь, если мы допустим, что форма
и, таким образом, для
Следовательно, мы имеем из (5.13), что
и получаем следующий вывод; Теорема 5.3. Если
то в этом многообразии не существует отличного от нулевого гармонического тензора валентности Точно так же, если
и из теорем 3.5 и 3.6 мы получим: Теорема 5.4. Если в компактном римановом многообразии с отрицательной кривизной Риччи выполнено условие
то не существует отличного от нуля (конформного) тензора Киллинга валентности
|
1 |
Оглавление
|