2. Кривизна в кэлеровом многообразии

Из определения тензора кривизны

в силу (8.20) и того, что мы получаем

Следовательно, для имеем

Из равенства следует

Из формул (8.27) и (8.28) видно, что могут быть отличны от нуля только компоненты вида

Следовательно, из компонент отличны от нуля только

компоненты вида

Отсюда получаем

Это уравнение показывает, что если компоненты комплексно аналитические функции от то все компоненты тензора кривизны обращаются в нуль. Из тождеств Бианки

получаем

Но так как последний член левой части равен нулю, то имеем

Эти равенства могут быть получены и непосредственно из (8.29). Далее, из определения следует

а отсюда

или же

Из последнего равенства следует

Для тензора Риччи имеем

и, следовательно,

Но

поэтому

где

Введем теперь кривизу К в двумерном направлении, определенном двумя линейно независимыми векторами при помощи формулы

Если эта кривизна одна и та же во всех двумерных направлениях, то тензор кривизны должен иметь вид

В силу равенств (8.17) эта формула сводится к следующей:

Подставив это выражение в тождество

найдем

Умножив последнее равенство на и свернув, получим

а отсюда можно сделать следующее заключение:

Теорема 8.1. Если а в каждой точке кэлерова многообразия кривизна во всех двумерных направлениях одна и та же, то тензор кривизны тождественно равен нулю.

Далее, если два вектора удовлетворяют условию

то они определяют двумерное направление, называемое аналитическим.

Для аналитического двумерного направления имеем

и, следовательно,

Таким образом, если мы предположим, что в каждой точке многообразия кривизна во всех аналитических двумерных направлениях одна и та же, то получим

для любого , откуда

С другой стороны, из тождеств Бианки

мы получаем

или

Подставив (8.41) в (8.42), найдем

Свернув последнее равенство с получим

Отсюда при следует

Таким образом доказана

Теорема 8.2. Если в каждой точке кэлерова многообразия кривизна во всех аналитических двумерных направлениях одна и та же, то тензор кривизны имеет вид (8.41), причем К — постоянная.

Такое многообразие будем называть многообразием постоянной аналитической кривизны.

Теорема 8.3. На многообразии постоянной аналитической кривизны для кривизны К в любом двумерном направлении выполняются неравенства

При этом верхний предел в первом случае (нижний предел во втором случае) достигается, если направление аналитическое; нижний предел в первом случае (верхний предел во втором

случае) достигается, когда скалярное произведение векторов, определяющих направление, вещественно (Бохнер [3]). В самом деле, имеем

и

где мы обозначили

Таким образом,

Если мы теперь положим

и

то

Тогда

Так как очевидно, что

то мы можем заключить, что для имеет место (8.43) и аналогично для выполняется (8.44).

Кривизна Риччи в направлении определяется отношением

Для многообразий постоянной аналитической кривизны из (8.41) следует

и, следовательно,

Таким образом, кривизна Риччи постоянна.

Вообще, если тензор Риччи удовлетворяет равенству

то

Из тождества

мы получаем

Подставив сюда (8.46), получим

откуда

Получается следующая теорема:

Теорема 8.4. В многообразии Эйнштейна с тензором Риччи

величина X есть абсолютная постоянная.