5. Многообразия с достаточным числом векторных или тензорных полей

В теореме 9.6 мы показали, что если имеется достаточно много аналитических векторов должным образом "независимых", и если они удовлетворяют допущению (9.12) о вихре, то не существует контравариантных векторных или тензорных полей (кроме весьма специальных); при этом именно предположение о равенстве нулю вихря привело к появлению в рассуждениях кривизны Риччи и позволило получить этот вывод как частное следствие одной из предыдущих общих теорем.

В действительности предположение о вихре может быть полностью опущено, а кривизна совсём исключена из рассмотрения, если мы в некоторой степени усилим требование независимости векторных полей. Наше новое предположение о их независимости, фактически значительно более ограничительное, чем предыдущее, отлично от него по форме, и это различие в подходе дает во всяком случае много интересных выводов для алгебраической геометрии.

Если ковариантный и контравариантный векторы, то скаляр, а аналитический скаляр на компактном аналитическом многообразии должен быть константой

здесь не требуется введения метрики Если теперь заданы векторов то мы получаем систему уравнений

С некоторыми постоянными с? и нетрудно подучить часть (1) еле дующей теоремы:

Теорема 9.7 (I). Если на компактном комплексном многообразии заданы аналитических ковариантных векторных полей обладающих тем свойством, что для любых

постоянных не равных одновременно нулю, ранг матрицы

имеет в окрестности некоторой точки максимальное значение то на многообразии не существует контравариантных векторных полей, отличных от нулевого.

(II). Не существует также контравариантных тензорных полей,

отличных от нулевого (Бохнер [8]).

Для доказательства части мы применим индукцию по результатов свертывания

являются контравариантными тензорами валентности если теорема уже установлена для они все должны быть равны нулю

Однако наше допущение о ранге матрицы (9.27) влечет за собой то, что сама матрица должна иметь ранг и потому (5.28) приводит к

что и утверждалось.

Часть (I) теоремы 9.7, доказанная для векторов, может быть обобщена на тензоры следующим образом. Для любых рассмотрим смешанный тензор типа

и затем соответственно смешанный тензор

дополнительного типа ; утверждение состоит в том, что если при данных существует достаточно много должным образом независимых тензоров типа (9.29), то не существует тензоров типа (9.30). Для придания необходимым допущениям простейшей формы мы введем следующие обозначения, систематически разработанные в другой связи (Бохнер [10]).

Вообще тензор (9.29) имеет компонент, и мы обозначим теперь эти компоненты, расположенные в фиксированном порядке, через

Соответственно компоненты тензора (9.30) обозначим через а свертку этих тензоров — через Тогда, если оба тензора, аналитичны на компактном многообразии, то должно быть

и получается следующий вывод:

Теорема 9.8. Если на компактном комплексном многообразии заданы тензорных полей 1 и если для любой системы постоянных

ранг матрицы

равен в некоторой точке то на многообразии не существует аналитического тензорного поля дополнительного типа.

Предположения теоремы тем более ограничительны, чем больше число но это число может быть уменьшено, если имеются "симметрии" или "антисимметрии" или более общие зависимости между компонентами тензоров. Так, например, верна следующая теорема, в которой число сведено от его первоначального значения пп к 1.

Теорема 9.9. Если на компактном комплексном многообразии имеются два аналитических, антисимметричных линейно независимых тензорных поля

то на нем не существует антисимметричного тензора

и, в частности, не может существовать векторных полей с определителем

не равным тождественно нулю, что означает отсутствие на многообразии транзитивной комплексной группы Ли аналитических изоморфизмов.

Наконец, сделаем еще одно замечание о векторах на веществен ном компактном римановом многообразии. В этом случае если гармонический вектор, а вектор Киллинга, и те же рассуждения покажут опять, без ограничений на кривизну, что при существовании достаточно большого числа должным образом независимых векторов одного рода не существует векторов другого

рода. Мы не будем давать точной формулировки этого результата, так как для данного случая прежние теоремы, использующие кривизну многообразия, имеют значительное преимущество.