3.5. Подгруппы в LG: полиномиальные петли
Время от времени нам будут требоваться подгруппы из
[Наиболее очевидной из них является группа
вещественно-аналитических петель. Если G вложена в унитарную группу
так что петля у в G есть матричнозначная функция и может «быть разложена в ряд Фурье
то вещественно-аналитические петли — это те, для которых этот ряд сходится в некотором кольце
с
т. е. такие, что
Для некоторого
ограничено по всем
Естественная топология на
получается, если рассматривать ее как прямой предел банаховых групп Ли
состоящих из функций, голоморфных в кольце
группа
имеет топологию равномерной сходимости. Нетрудно убедиться в том, что
есть группа Ли с алгеброй Ли
(выбор вложения
не имел значения и в действительности не был реально использован; он был введен лишь для конкретности).
Чуть меньшей подгруппой является подгруппа
рациональных петель, т. е. петель, значения которых как матрично-значных функций являются рациональными функциями от 2, не имеющими полюсов при
(рациональная функция означает отношение двух многочленов). Мы не будем углубляться в вопрос выбора подходящей топологии на
отметим только, что она является плотной подгруппой в
Наименьшая из подгрупп, которые мы будем рассматривать, — это группа
петель, матричные значения которых являются конечными многочленами Лорана от
т. е. петель вида (3.5.1), у которых лишь конечное число матриц
отлично от нуля. Эта группа есть объединение подмножества
состоящих из петель (3.5.1), для которых
при:
Каждое из этих подмножеств естественно является компактным пространством, и мы снабжаем
топологией прямого предела. Эта группа соответствует алгебре Ли
всех конечных рядов
где
принадлежит комплексифицированной алгебре Ли
Как векторное пространство она есть прямой предел? своих конечномерных подпространств
и она снабжается топологией прямого предела. Разумеется, экспоненциального» отображения
не существует, так как экспоненциал конечного ряда (3.5.2), как правило, не является конечным: рядом.
Группа
обладает комплексификацией
состоящей из тех петель в
которые вместе со своими обратными задаются конечными многочленами Лорана (3.5.1) (в случае группы
нам не нужно было говорить «вместе со своими обратными», так как для
имеем
так что обратная к полиномиальной петле автоматически полиномиальна). Если
то
есть в точности
. В общем случае, если G представлять себе как алгебраическую
то
есть группа «точек группы G со значениями
в смысле алгебраической геометрии.
Группа
не всегда плотна в
Например, если
состоит лишь из петель
т. е. компонента" единицы в
это просто постоянные петли (так как обращение непостоянного многочлена не может быть многочленом). Поэтому следующий результат вызывает некоторое удивление
Предложение (3.5.3). Если группа G полупроста, то
плотна в
Доказательство. Пусть
— замыкание подгруппы
в
подмножество в
образованное касательными векторами такими, что соответствующая однопараметрическая подгруппа лежит в
Важное наблюдение состоит в том, что V - векторное пространство. Чтобы убедиться в том, что
замкнуто относительно сложения, достаточно воспользоваться формулой