Глава 4. Центральные расширения

До конца книги G всегда будет компактной связной группой Ли.

4.1. Введение

Фундаментальным свойством группы петель является существование интересных центральных расширений

группы с помощью окружности Т (иными словами, это группа, содержащая Т в своем центре и такая, что факторгруппа есть Группы аналогичны конечнолистным накрывающим группам конечномерной группы Ли в том, что любое проективное унитарное представление группы происходит из настоящего представления некоторой группы напомним, что проективное унитарное представление группы в гильбертовом пространстве есть сопоставление каждому унитарного оператора так, что для всех выполняется равенство

где - комплексное число, равное по модулю 1. Функция называется проективным мультипликатором или коциклом представления.

Как топологические пространства группы являются главными расслоенными пространствами над со слоем окружность. За исключением произведения все эти расслоения нетривиальны, т. е. не гомеоморфно декартовому произведению и не существует непрерывных глобальных сечений . В действительности групповое расширение полностью определяется своим топологическим типом как расслоенного пространства, причем каждое расслоение над со слоем окружность может быть сделано групповым расширением. Интересно, что группы при ведут себя совершенно по-другому. Над часто имеются нетривиальные расслоения со слоем окружность, но если X

односвязно, то лишь плоские такие расслоения могут быть сделаны группами (это вытекает из предложений (4.2.8) и (4.5.6) ниже).

Если группа G проста и односвязна, то среди групп имеется универсальное центральное расширение, т. е. такое, что все остальные являются его факторгруппами. Оно аналогично универсальной накрывающей группе конечномерной группы. Каждое центральное расширение группы с помощью произвольной абелевой группы А возникает из универсального расширения с помощью гомоморфизма в том смысле, что (последнее выражение означает факторгруппу группы по подгруппе, состоящей из всех элементов Когда группа G односвязна, но не проста, универсальное центральное расширение по-прежнему имеется, но, как мы увидим, оно является расширением группы с помощью группы гомологий которая есть тор размерности, равной числу простых множителей в

Группа обладает комплексификацией Расширения также имеют комплексификации являющиеся расширениями группы с помощью Однако мы отложим конструкцию комплексификаций до гл. 6.

Стоит отметить, что центральные расширения группы тесно связаны с ее естественным аффинным действием на пространстве связностей в тривиальном главном G-расслоении над окружностью (см. (4.3.3)).

Эта глава заканчивается приложением, в котором обсуждаются когомологии пространства и алгебры Ли