1. Эквивалентные представления

Напомним, что представлением группы называется всякий гомоморфизм группы в группу автоморфизмов некоторого векторного пространства называется тогда пространством представления Если V — векторное пространство над полем К, то говорят, что представление над полем К. Если пространство V имеет конечную размерность то говорят, что

представление степени в противном случае говорят, что представление бесконечной степени. Напротив, если алгебра Ли, то ее представлениями будем называть только гомоморфизмы в алгебры Ли эндоморфизмов конечномерных векторных пространств над тем же основным полем, и алгебра

Пусть два представления группы соответствующие пространства представлений. Представления считаются эквивалентными, если существует изоморфизм пространства V на V, такой, что для всех эквивалентность может иметь место только в том случае, если основные поля пространств совпадают. Аналогичным образом определяется эквивалентность двух представлений алгебры Ли.

Для алгебраической группы автоморфизмов конечномерного векторного пространства мы определили в гл. II второго тома понятие ее рационального представления; такое представление всегда является представлением над основным полем векторного пространства, в котором действует группа Каждому рациональному представлению группы соответствует представление ее алгебры Ли называемое дифференциалом представления Если неприводимая группа и если характеристика основного поля равна нулю, то задание определяет представление Действительно, если ввести поле формальных рядов от переменной с коэффициентами из основного поля алгебры то, как известно,

(том II, теорема 9 из § 12 гл II). Пусть теперь два представления группы для которых Из теоремы 8 § 12 гл. II (том II) следует, что существует общая точка 5 группы такая, что откуда, очевидно, вытекает, что

Предложение 1. Пусть рациональное представление некоторой алгебраической группы О автоморфизмов конечномерного векторного пространства пространство представления — изоморфизм пространства V на векторное пространство V Тогда представление определенное формулой

рационально и его дифференциалом является отображение

алгебры Ли группы

Первое утверждение очевидно. Пусть — точка группы Представление можно рассматривать как след на группе некоторого рационального отображения пространства эндоморфизмов пространства в пространство эндоморфизмов пространства Пусть отображение (определенное в тех же точках пространства что и отображение Для из определений следует, что

Но если то

где - единичный элемент группы Отсюда уже легко получить предложение 1.

Следствие. Пусть рациональные представления неприводимой алгебраической группы над полем характеристики 0, Для того чтобы представления были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы были эквивалентны представления и алгебры Ли группы

Это непосредственно вытекает де предложения 1 и из того факта, что рациональное представление группы однозначно определяется заданием его дифференциала.