6. Контрагредиентные представления
Пусть
представления группы О над одним и тем же полем, и пусть
пространства этих представлений. Напомним, что билинейная форма В над
называется невырожденной, если выполнены следующие условия: а) если
таково, что
для всех
то
если
таково, что
для всех
то
Если эти условия выполнены и если V конечномерно, то размерность V конечна и равна размерности
Если
векторные пространства одной и той же конечной размерности, то условия а) и б) эквивалентны. Далее, говорят, что два представления
контрагредиентны, если существует невырожденная билинейная форма В над
такая, что
для всех
говорят также, что представления
контрагредиентны относительно формы В. Заметим, что определяющее условие может быть также записано в виде
Пусть V — пространство, дуальное к
Напомним, что под сопряженным эндоморфизмом эндоморфизма
пространства V мы понимаем тот эндоморфизм
пространства V, который переводит всякую линейную функцию
над пространством V в линейную функцию
Если
— два эндоморфизма пространства V, то
Отсюда следует, что отображение
является представлением группы О, контрагредиентным к
относительно канонической билинейной формы
над
Это представление называется дуальным к представлению
Пусть В — билинейная форма над произведением двух векторных пространств
Если
то отображение
линейная функция на V, т. е. элемент пространства V, дуального
обозначим эту функцию через
Отображение
пространства
линейно; оно называется отображением, естественно соответствующим билинейной форме В. Если
—пространства представлений
группы
взаимно контрагредиентные относительно
то для всех
имеем
Если форма В невырождена, то отображение
взаимно однозначно; если, кроме того, пространства
конечномерны, то
изоморфизм V на V и, как легко видеть, представление
эквивалентно представлению, дуальному к
Из этого следует, что все представления, контрагредиентные данному конечномерному представлению, эквивалентны между собой (для бесконечномерных представлений это, вообще говоря, не так). Кроме того, если представление
конечной степени, то представление, дуальное к представлению, дуальному к
эквивалентно
Таким образом, для того чтобы два представления конечной степени группы
были контрагредиентны, необходимо и достаточно, чтобы каждое из них было эквивалентно представлению, дуальному к другому.
Пусть
алгебраическая группа,
два рациональных представления группы
взаимно контрагредиентных относительно невырожденной билинейной формы В над произведением
пространств этих представлений. Пусть
дифференциалы представлений
и
эти
дифференциалы являются представлениями алгебры Ли
группы О. Покажем, что
для всех
и всех
Действительно, отождествим
с подпространствами произведения
и рассмотрим представление
декартово произведение представлений
Определенную над
билинейную форму В можно продолжить в билинейную форму С над произведением (
положив
Тогда из самого определения следует, что
контрагредиентно самому себе относительно С. Группа
содержится поэтому в группе
автоморфизмов
пространства
для которых
при всех
Форма С невырождена. Действительно, пусть
элемент из
Для которого
при всех
Положив сперва
имеем
для всех
так что
положив затем
мы аналогичным образом найдем, что
что и доказывает наше утверждение. Таким образом, группа
алгебраическая группа, алгебра Ли
которой состоит из эндоморфизмов
пространства для которых
при всех
из
(ср. том II, гл. II, § 10, пример I).
Для
имеем
но
переводит элемент вида
это доказывает формулу (1).
Пусть вообще
представления алгебры Ли
а
пространства этих представлений. Если существует невырожденная билинейная форма В на
такая, что выполняется формула (1) для всех
то мы будем говорить, что представления
взаимно контрагредиентны, или взаимно контрагредиентны относительно формы В.
Пусть V — пространство представления
алгебры Ли
дуальное к нему пространство. Как легко видеть, отображение
алгебры
в пространство эндоморфизмов пространства V является тогда представлением алгебры
оно называется дуальным к представлению
Если
алгебра Ли алгебраической группы
дифференциал рационального представления
группы
то представление, дуальное к
есть дифференциал представления, дуального к
которое также является рациональным представлением
Это следует из доказанных выше результатов и из того, что для
коэффициенты матрицы, представляющей
в некотором базисе пространства V, могут быть выражены в виде рациональных функций от коэффициентов матрицы, представляющей
в некотором базисе пространства
Так как предполагается, что представления алгебры Ли всегда конечной степени, то видно, что два представления алгебры Ли взаимно контрагредиентны тогда и только тогда, когда каждое из них эквивалентно представлению, дуальному к другому.
Предложение 7. Пусть
два рациональных представления неприводимой алгебраической группы
над полем характеристика 0, и пусть
пространства этих представлений. Для того чтобы
были взаимно контрагредиентны относительно невырожденной билинейной формы В над
необходимо и достаточно, чтобы
были взаимно контрагредиентны относительно В.
Это следует непосредственно из предложения
примененного к линейному отображению пространства V в дуальное к V пространство, естественно соответствующему форме В.
Заметим, что без предположений о неприводимости группы
и о равенстве нулю характеристики основного поля указанное
выше условие остается необходимым, как это следует из нашего изложения.