3. Декартовы произведения

Пусть представления группы (или алгебры Ли ) над одним и тем же полем и пусть пространство представления Образуем декартово произведение

пространств и сопоставим каждому элементу группы (или алгебры Ли ) эндоморфизм пространства V, определенный формулой

Тогда ясно, что есть представление группы (или алгебры Ли ). В случае групп мы будем называть представление декартовым произведением представлений и писать

в случае алгебр Ли мы будем говорить, что декартова сумма представлений и писать

Если заменить представления эквивалентными представлениями, то их декартово произведение (или декартова сумма) переходит в эквивалентное представление. Операция декартова умножения (или декартова сложения в случае алгебр Ли) коммутативна и ассоциативна с точностью до эквивалентности; это значит, что равенства, содержащие представления и выражающие коммутативность и ассоциативность, становятся спра ведливыми, если знак заменить выражением "эквивалентно". Это свойство непосредственно следует из существования естественных изоморфизмов между произведениями множеств.

При тех же обозначениях, что и выше, заметим, что каждое из пространств можно отождествить с подпространством пространства V, сопоставляя любому элементу из элемент из координата которого равна а остальные — нулю. После этого пространство V становится прямой суммой пространств и если элемент из из , то не что иное, как ограничение эндоморфизма на

Предложение 3. Пусть рациональные представления алгебраической группы Тогда дифференциал декартова произведения этих представлений является декартовой суммой представлений алгебры Ли группы

Заметим, что, очевидно, декартово произведение рациональных представлений само является рациональным представлением. Предложение 3 следует непосредственно из леммы 1, п° 2, если отождествить пространства представлений с подпространствами их произведения.