§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые задачи, приводящие к решению уравнения Лапласа

Как уже указывалось, левая часть уравнения (1) обозначается так:

где А называется оператором Лапласа. Функции и, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

I. Стационарное (установившееся) распределение температуры в однородном теле. Пусть имеется однородное, тело Q, ограниченное поверхностью о. В § 5 было показано, что температура в различных точках тела удовлетворяет уравнению:

Если процесс установившийся, т. е. если температура не зависит от времени, а зависит только от координат точек тела, то и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа

Чтобы температура в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности а. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема и принимающую в каждой точке М поверхности

заданные значения:

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).

Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален (см. § 5), то на поверхности а вместо краевого условия (2) будем иметь условие

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей.

Если рассматривается распределение температур в плоской области D, ограниченной контуром С, то функция и будет зависеть от двух переменных х и у и удовлетворять уравнению

которое называется уравнением Лапласа на плоскости. Краевые условия (2) или (3) должны выполняться на контуре С.

II. Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности. Пусть внутри объема Q, ограниченного поверхностью а (в частности, Q может быть и неограниченным), происходит течение жидкости. Пусть — плотность жидкости. Скорость жидкости обозначим

где - проекции вектора v на оси координат. Выделим в теле Q малый объем о», ограниченный поверхностью S. Через каждый элемент поверхности S за время пройдет количество жидкости

где — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Общее количество жидкости Q, поступившее в объем (или вытекшее из объема ), выразится интегралом

(см. §§ 5 и 6 гл. XV). Количество жидкости в объеме в момент t было

За время количество жидкости в силу изменения плотности изменится на величину

Предполагая, что в объеме со нет источников, заключаем, что это изменение вызвано притоком жидкости, количество которой определено равенством (6). Приравнивая правые части равенств (6) и (7) и сокращая на получим

Преобразуем поверхностный интеграл, стоящий слева, по формуле Остроградского (§ 8 гл. XV). Тогда равенство (8) примет вид

или

В силу произвольности объема и непрерывности подынтегральной функции получаем

или

Это и есть уравнение неразрывности течения сжимаемой жидкости.

Замечание. В некоторых задачах, например при рассмотрении процесса движения нефти или газа в подземной пористой среде к скважине, можно принять

где — давление, - коэффициент проницаемости, и

. Подставляя в уравнение неразрывности (9), получим

или

Если - постоянная, то это уравнение принимает вид

и мы приходим к уравнению теплопроводности.

Вернемся к уравнению (9). Если жидкость несжимаемая, то и уравнение (9) принимает вид

Если движение потенциальное, т. е. вектор v есть градиент некоторой функции :

то уравнение (12) принимает вид

или

т. е. потенциальная функция скорости должна удовлетворять уравнению Лапласа. Во многих задачах, как, например, в задачах фильтрации, можно принять

где — давление, - постоянная; тогда получаем уравнение Лапласа для определения давления

Краевые условия для уравнения (13) или (13) могут быть следующими:

1. На поверхности а задаются значения искомой функции — давления (условие ). Это задача Дирихле.

2. На поверхности о задаются значения нормальной производной — задается поток через поверхность (условие ). Это задача Неймана.

3. На части поверхности а задаются значения искомой функции — давления, а на части поверхности задаются значения нормальной производной потока через поверхность. Это задача Дирихле—Неймана.

Если движение плоско-параллельное, т. е. функция не зависит от , то получается уравнение Лапласа в двумерной области D с границей С:

Краевые условия типа - задача Дирихле, — или типа - задача Неймана, — задаются на контуре С.

III. Потенциал стационарного электрического тока. Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем F, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором Предположим, что плотность тока не зависит от времени . Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока. Следовательно, поток вектора J через любую замкнутую поверхность S, лежащую внутри объема V, будет равен нулю:

где — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности. Из формулы Остроградского заключаем, что

На основании обобщенного закона Ома определяются в рассматриваемой проводящей среде электрическая сила Е:

или

где — проводимость среды, которую мы будем считать постоянной.

Из общих уравнений электромагнитного поля следует, что если процесс стационарный, то векторное поле Е безвихревое, т. е. . Тогда аналогично тому, что мы имели при рассмотрении поля скоростей жидкости, векторное поле является потенциальным (см. § 9 гл. XV). Существует функция такая, что

На основании (16) получаем:

Из (15) и (18) следует:

или

Получили уравнение Лапласа.

Решая это уравнение при соответствующих краевых условиях, найдем функцию , а по формулам (18) и (17) найдем ток J и электрическую силу Е.