5.6 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Теперь должно быть ясно, что база данных известных гипергеометрических представлений в замкнутой форме служит полезным инструментом для суммирования биномиальных коэффициентов. Мы просто приводим некоторую заданную сумму к ее каноническому гипергеометрическому виду, а затем ищем по таблице. Если она там есть, прекрасно — решение получено. Если же нет, ее можно добавить к имеющейся базе данных, если окажется, что данная сумма выразима в замкнутой форме. Можно было бы также включить в таблицу записи, которые гласят, что „данная сумма вообще не выражается в замкнутой форме" Например, сумма соответствует гипергеометрической функции

которая выражается в простой замкнутой форме только тогда, когда близко к 0, или

Но это еще не все, так как гипергеометрические функции подчиняются и своим собственным тождествам. Это означает, что каждая замкнутая форма для гипергеометрической функции приводит к дополнительным замкнутым формам и дополнительным записям в базе данных. К примеру, тождества из упр. 25 и 26 показывают, как преобразовать одну гипергеометрическую функцию в две другие с похожими, но отличными параметрами. В свою очередь эти функции могут быть преобразованы вновь.

В 1797 г. И. Ф. Пфафф [249] открыл удивительный закон симметрии,

который служит примером преобразования другого типа. Это формальное тождество относительно степенных рядов, если величина заменена бесконечным рядом полученным при разложении в ряд левой части (см. упр. 50). Этот закон можно использовать для вывода новых формул из уже известных тождеств при условии, что

Например, формула Куммера (5.94) может быть объединена с законом симметрии (5.101), если параметры выбраны так, что применимы оба тождества:

Теперь можно положить и перейти от этого равенства к новому тождеству относительно биномиальных коэффициентов, которое, быть может, в один прекрасный день нам понадобится:

К примеру, при данное тождество утверждает, что

Это почти невероятно — но это так при любом (Кроме случаев, когда какой-нибудь сомножитель в знаменателе обращается в нуль.)

Забавно, попробуем еще. Может быть, нам удастся найти некоторую формулу, которая и в самом деле удивит наших друзей. Что нам даст закон симметрии Пфаффа, если применить его к выражению в несколько странной форме (5.99), где ? В этом случае мы полагаем получая

поскольку ни один из предельных членов не близок к нулю. Это приводит к другой „невероятной" формуле,

Например, при данная сумма равна

а действительно равно .

Когда мы рассматривали тождества с биномиальными коэффициентами и приводили их к гипергеометрическому виду, мы не придали значения соотношению (5.19), поскольку это было соотношение между двумя суммами, а не выражение в замкнутой форме. Однако теперь (5.19) можно рассмотреть как соотношение между гипергеометрическими рядами. Если продифференцировать его раз по у, а затем заменить к на то получим

Это приводит к следующему гипергеометрическому преобразованию:

Обратите внимание, что при это сводится к свертке Вандермонда (5.93).

По-видимому, в дифференцировании что-то есть, если данный пример сколь-нибудь показателен, — оно оказалось полезным и в гл. 2 при суммировании . Посмотрим, что случится, если продифференцировать обобщенный гипергеометрический ряд по z:

Параметры выносятся и увеличиваются на 1.

Дифференцирование может быть использовано также для того, чтобы „отщипнуть" только один из параметров, оставляя в покое остальные. Для этого используется оператор

который действует на функцию путем ее дифференцирования с последующим умножением на Этот оператор дает

что само по себе не представляет особой ценности. Однако если умножить на один из его верхних параметров, скажем, и добавить то получим

При этом увеличивается на 1 лишь один параметр.

Аналогичный фокус проходит и с нижними параметрами, но в этом случае они уменьшаются на 1, а не увеличиваются:

Теперь можно объединить все эти операции и сыграть математическую „шутку", выразив одну и ту же величину двумя разными способами. А именно,

и

где Но (5.106) указывает на то, что верхняя строчка является производной от нижней. Следовательно, обобщенная гипергеометрическая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

где — это оператор

Это следует подтвердить примером. Подыщем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет стандартная гипергеометрическая функция с двумя верхними и одним нижним параметрами . В соответствии с (5.107) имеем

Что это означает в обычной записи? Ну, — это а производная от этой величины дает левую часть,

В правой части имеем

Приравнивание обеих частей дает

Это уравнение эквивалентно (5.107), записанному в форме произведения.

Обратно, от дифференциального уравнения можно вернуться к степенному ряду. Допустим, что — степенной ряд, удовлетворяющий уравнению (5.107). Непосредственное вычисление показывает, что

следовательно, функцией будет Мы доказали, что гипергеометрический ряд единственный формальный степенной ряд, который удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.107) и имеет постоянный член 1.

Было бы здорово, если бы гипергеометрические функции позволяли решать все на свете дифференциальные уравнения, но это далеко не так. Правая часть уравнения (5.107) всегда разлагается на сумму членов вида где производная а левая часть всегда разлагается на сумму членов вида при Так что дифференциальное уравнение (5.107) всегда имеет специальный вид

Уравнение (5.108) иллюстрирует это в случае . И обратно, в упр. 6.13 мы покажем, что любое дифференциальное уравнение данного вида можно разложить относительно Ф-оператора так, чтобы получить уравнение типа (5.107). Таким образом, это дифференциальные уравнения, решениями которых являются степенные ряды с рациональными отношениями членов.

Умножение обеих частей уравнения (5.107) на z позволяет обойтись без -оператора и дает примечательное выражение с во всех сомножителях:

Первый сомножитель слева соответствует сомножителю в отношении членов (5.81), который, в свою очередь, соответствует к! в знаменателе члена обобщенного гипергеометрического ряда. Все остальные сомножители соответствуют сомножителям в знаменателе, которые, в свою очередь, соответствуют Справа же z соответствует соответствует

Одно из применений подобной дифференциальной теории состоит в нахождении и проверке новых преобразований. Так, легко

убедиться в том, что обе гипергеометрические функции

удовлетворяют дифференциальному уравнению

следовательно, должно быть справедливо тождество Гаусса [68, соотношение 102]

В частности,

всякий раз, когда обе бесконечные суммы сходятся. И на самом деле эти суммы всегда сходятся, за исключением вырожденного случая, когда есть неположительное целое.

Каждое новое тождество для гипергеометрических функций влечет за собой новое тождество для биномиальных коэффициентов, и последнее соотношение не является исключением. Рассмотрим сумму

Ее члены отличны от нуля при и, соблюдая, как и ранее, известную осторожность при переходе к пределу, эту сумму можно выразить в гипергеометрической форме:

Величина не влияет на предел, поскольку неположительный верхний параметр раньше обрывает данную сумму. Можно положить с тем чтобы применить (5.111). Теперь данный предел можно вычислить, поскольку правая часть этого соотношения представляет собой частный случай (5.92). Результат может быть выражен в упрощенном виде

как показано в упр. 54. К примеру, если то получаем если же то обе части равны

Кроме того, можно указать случаи, когда соотношение (5.110) при приводит к суммам биномиальных коэффициентов, но эти суммы, право, сверхъестественны. Если положить то получается чудовищная формула

Данные гипергеометрические функции являются невырожденными многочленами, если а их параметры подбираются столь искусно, что левую часть выражения можно вычислить по формуле (5.94). Поэтому приходим к воистину умопомрачительному результату

Это самое поразительное тождество с биномиальными коэффициентами из встретившихся нам. Даже начальные случаи такого соотношения не так просты, чтобы их можно было проверить вручную. (Оказывается, обе части в действительности дают при Разумеется, данное соотношение совершенно бесполезно — наверняка оно никогда не возникнет ни в одной практической задаче.

Таково наше представление о гипергеометрических представлениях. Мы убедились в том, что гипергеометрические ряды обеспечивают нас высоконаучным способом обращения с суммами биномиальных коэффициентов. Масса дополнительной информации содержится в классической книге Улифреда Н. Бейли [17] и ее продолжении, написанном Гаспером и Рахманом [66].