10.2. Задача Кеплера

Применение теории Гамильтона — Якоби к задаче Кеплера не только дает решение самой этой задачи, но и имеет большое значение для полуклассической квантовой теории. Будем сразу рассматривать плоское движение и запишем функцию Лагранжа в полярных координатах:

Здесь мы ради краткости положили

(для гравитационного поля),

(для кулонова поля),

причем

— гравитационная постоянная,

(соответственно ) - масса (соответственно заряд) движущейся частицы,

М (соответственно ) - масса (соответственно заряд) центрального тела.

В этой задаче точка имеет две степени свободы, что отражается наличием двух координат Находим обобщенные импульсы:

Тогда функция Гамильтона принимает вид

Поскольку речь идет о стационарной задаче, можно исходить непосредственно из уравнения Г амильтона — Якоби в виде (8.271;

причем

В соответствии с соотношением (8.31) предположим, что

и подставим это выражение в уравнение (10.34), что даст

или

Поскольку величины, стоящие в разных частях этого уравнения, зависят от различных независимых переменных, каждая из них должна равняться постоянной. Следовательно, таким образом удается разделить переменные и получить два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Первое из них выражает закон сохранения момента количества движения.

В силу формулы (8.26) получается действие

Это — полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Соответствующими независимыми параметрами являются Е и а. Согласно теореме Якоби, для того чтобы найти уравнение траектории, следует продифференцировать полный интеграл по этим параметрам.

Сначала продифференцируем по а:

Переход к новой переменной интегрирования дает

Здесь мы использовали корни трехчлена для которых имеют место равенства

Физический смысл этих корней таков:

— величина, обратная расстоянию в перигелии,

— величина, обратная расстоянию в афелии.

Далее следует произвести подстановку

которая приводит уравнение (10.40) к виду

Отсюда мы получаем

Вспоминая соотношения, связывающие величины с большой полуосью а и эксцентриситетом а именно соотношения

уравнение (10.44) можно переписать так:

Это уравнение, связывающее определяет геометрическую форму траектории, представляющей собой коническое сечение.

Второе уравнение, описывающее закон движения во времени, получается дифференцированием функции (10.39) по Я. Согласно теореме Якоби, снова имеем

Производя замену переменной интегрирования и используя указанные выше обозначения, находим

т. е. устанавливаем зависимость между и Вычислять этот интеграл мы не будем.

Как явствует из выражения (10.31), в этом примере уголф представляет собой циклическую координату.