§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке Тогда, как известно, площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис. 237) находится по формуле

2. В том случае, когда непрерывная функция на отрезке для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции (рис. 238) следует использовать формулу

3. Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок на такие части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак, затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить. Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 239, равна:

4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций и двумя прямыми где на отрезке (рис. 240), находится по формуле

Рис. 237

Рис. 238

Рис. 239

Рис. 240

Рис. 241

Рис. 242

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно сделав рисунок):

Решение. 1) На отрезке [0; 3] функция отрицательная (рис. 241). Поэтому для вычисления площади искомой фигуры следует воспользоваться формулой (2):

2) Парабола пересекает ось абсцисс в точках Фигура, площадь которой требуется найти, заштрихована на рисунке 242. Пусть — площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам [0; 4] и [4; 5], a S - искомая площадь; тогда

Используя формулу (1), находим:

а по формуле (2) получаем:

Следовательно,

3) Найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных линий:

откуда Искомая площадь равна разности площадей криволинейной трапеции и треугольника (рис. 243).

По формуле (2) находим:

Так как то искомая площадь

4) Найдем точки пересечения графиков заданных линий (рис. 244): .

Искомая площадь равна разности трапеции и криволинейной трапеции Следовательно,

5) Построим заданные линии (рис. 245). Убедимся, что точка В общая у параболы и прямой Искомая площадь 5 равна раз-

Рис. 243

Рис. 244

Рис. 245

ности площадей криволинейной трапеции и прямоугольника

6) Кривые при условии пересекаются в точке с абсциссой Заданная фигура (рис. 246) является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции

По формуле (1) найдем искомую площадь:

7) Данная фигура симметрична относительно оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 247). Симметричные фигуры имеют равные площади. Следовательно,

8) Искомая площадь 5 равна сумме площадей двух фигур, первая из которых ограничена линиями

Рис. 246

Рис. 247

Рис. 248

вторая — линиями (рис. 248).

Для вычисления площадей применим формулу

Тогда

9) Функцию можно переписать так:

Ее график изображен на рисунке 249, а.

График функции изображен на рисунке а фигура, площадь которой требуется найти, — на рисунке 249, в.

Рис. 249

Итак,

10) Данная фигура симметрична относительно прямой криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и графиком функции обратной (рис. 250). Поэтому эти фигуры имеют равные площади:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)