§ 9.8. Гироскоп Фуко.

Рассмотрим вращающийся волчок, подвешенный к неподвижной точке пусть центр тяжести его находится на одной вертикали с точкой О и вращение происходит около его оси. Если волчку сообщить малое возмущение, то его ось сохранит направление, близкое к вертикальному. Это имеет место независимо от скорости вращения и следует из уравнения энергии, которое можно записать в форме, аналогичной (8.6.8):

Когда ось стационарна, если эту величину немного изменить, положив где а — малая величина, то для возмущенного движения получим

и во все время движения будем иметь

При изучении возмущенного движения в окрестности направленной вниз вертикали удобно ось направить вертикально вниз и избежать, таким образом, неприятностей, связанных с неопределенностью в состоянии покоя, возникающей, когда ось направлена вертикально. Тогда будем иметь

Полагая, как обычно,

и используя это равенство при составлении уравнений Лагранжа для и получаем

Во втором из этих уравнений произведено сокращение на множитель он отличен от нуля близок к единице).

Чтобы рассмотреть возмущенное движение в окрестности вертикали, направленной вниз, положим Тогда с точностью до величин первого порядка относительно направляющие косинусы оси волчка будут равны Приближенные уравнения движения, составленные с такой же точностью, будут иметь вид

Эти уравнения совпадают с уравнениями движения частицы в плоскости под действием линейно изменяющейся притягивающей силы и гироскопической силы (§ 8.8). Полагая и обозначая, как и ранее, находим, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

Решение этого уравнения имеет вид

где

а коэффициенты вообще говоря, комплексные. При малом возмущении, когда в начальный момент малы, все время остается малым и линейное приближение достаточно хорошо аппроксимирует действительное движение, по крайней мере для не слишком больших значений t.

Уравнения (9.8.6) можно очень просто получить с помощью метода, описанного в § 8.7. Имеем

Поскольку вектор имеет теперь компоненты ( векторное уравнение (8.7.2) эквивалентно трем скалярным уравнениям

где и есть вектор В нашей задаче у и z малы, а х близок к единице; учитывая это, мы приходим к уравнениям (9.8.6).

Рассмотрим решение уравнения (9.8.7) в двух частных случаях; начальные значения обозначим соответственно через

1) вещественно и положительно (и, разумеется, мало); в момент ось волчка имеет вертикальное направление. Решение имеет вид

Траектория имеет форму розетки и в полярных координатах описывается уравнением

где Траектория изображена на рис. 25, она построена для случая, когда скорость вращения мала и X, следовательно, велико.

Рис. 25.

Рис. 26.

Если скорость вращения велика и X лишь немного превышает единицу, то форма траектории близка к окружности.

2) , причем а вещественно и положительно; ось волчка начинает движение из состояния покоя вблизи вертикали. Решение имеет вид

и траектория представляет собой гипоциклоиду. Такую кривую описывает точка окружности радиуса катящаяся внутри окружности радиуса а (рис. 26). В обозначениях, указанных на рисунке, можем написать

Если положить здесь

то мы получим формулу (9.8.13).