5. Сигналы с неизвестными амплитудой, фазой и временем прихода

Наиболее общим случаем применения радиолокационной системы является поиск целей, расстояние до которых заранее неизвестно и, следовательно, неизвестно время прихода эхо-сигналов в приемник. В этом случае наблюдатель не может использовать систему обнаружения с фильтрами, описанную в предыдущем разделе, так как он не знает, в какое время измерять напряжение на выходе. И какая бы стратегия обнаружения не использовалась, напряжение на входе приемника должно наблюдаться в течение всего интервала который много больше длительности эхо-сигнала. Длительность интервала наблюдения обычно определяется периодом повторения импульсов передатчика. Посмотрим, как теория решений, развитая в начале этой главы, может быть применена к данной задаче.

Ожидаемый сигнал теперь имеет вид

где время прихода отличительной точки огибающей сигнала; остальные символы имеют те же значения, что и раньше. Для целей, не двигающихся слишком быстро, можно предположить, что частота несущей 2 известна. Нужно произвести испытание простой гипотезы (в интервале наблюдения сигнала нет) против сложной гипотезы [присутствует сигнал вида (5.58) с некоторой системой значений параметра]. Для простоты предположим, что интервал наблюдения много больше длительности сигнала и что шум гауссов с полосой, много большей полосы сигнала. Будем применять критерий Неймана — Пирсона.

В соответствии с замечаниями разд. 1 найдем наименее благоприятное априорное распределение неизвестных параметров сигнала Используя это распределение,

вычислим средний коэффициент правдоподобия, согласно (5.4). В случае узкополосных сигналов можно записать формулы, подобные (4.57), для функции совместного распределения образцов комплексной огибающей входного сигнала когда число этих образцов очень велико.

Используя предельную формулу (2.56)

комплексной функции автоковариации шума, где -спектральная плотность шума вблизи спектра сигнала, найдем, что средний коэффициент правдоподобия равен

Этот средний коэффициент правдоподобия должен быть сопоставлен с некоторым критическим значением зависящим от заранее назначенной вероятности ложной тревоги

Наименее благоприятная ситуация это та, где параметры сигнала являются независимыми случайными переменными без связей между ними, которыми наблюдатель мог бы воспользоваться для улучшения вероятности обнаружения. При этом можем записать

Наименее благоприятное распределение фазы сигнала снова является равномерным распределением (5.22). Подставив его в формулу (5.58) и интегрируя по от 0 до получим для среднего коэффициента правдоподобия выражение

Как было показано в подразделе (в) разд. 1, наименее благоприятная ситуация в отношении амплитуды сигнала А возникает, когда амплитуда очень мала. Это приводит нас к мысли использовать разложение бесселевых и экспоненциальных функций в степенные ряды и сохранить только по два первых члена в каждом разложении. При этом получаем

Интегрирование по всему интервалу амплитуд лишь заменяет его средним значением, и мы видим, что вместо можно использовать статистику испытания

где

Статистика сравнивается с некоторым значением зависящим от вероятности ложной тревоги. Если наблюдатель решает, что сигнал присутствует.

Чтобы образовать статистику потребовалась бы система нелинейных фильтров довольно сложного типа. В разд. 2 гл. 11 рассматривается получение подобной статистики. Однако сейчас нас интересует только анализ поведения таких систем обнаружения. Чтобы вычислить вероятности ложной тревоги и обнаружения, нужно найти функции распределения статистики при гипотезах в последнем случае — для сигнала с определенным временем прихода

Когда время наблюдения много больше длительности сигнала, величина сводится к сумме большого числа независимых случайных переменных. Поэтому в соответствии с центральной предельной теоремой, о которой упоминалось в разд. 4 гл. 2, ее функция распределения приблизительно гауссова. Эта функция распределения зависит только от среднего значения и дисперсии статистики. При гипотезе найдем, согласно формуле (2.56),

Чтобы вычислить дисперсию, используем формулу приложения Б, которая дает среднее значение произведения четырех коррелированных гауссовых случайных переменных:

Когда сигнал присутствует, среднее значение статистики равно

Ее дисперсия принимает вид

Вероятности ложной тревоги и обнаружения теперь приближенно даются формулами

Величина является отношением сигнал/шум на выходе системы, когда на входе оно мало. Отношение сигнал/шум и вероятность обнаружения являются функциями времени прихода сигнала

Когда интервал наблюдения много больше длительности сигнала, наименее благоприятное распределение времени прихода сигнала — приблизительно равномерное распределение

Это видно из того, что, если бы некоторые значения х были более вероятны, чем остальные, система, которая концентрировала бы внимание на этих значениях, могла достичь более высокой вероятности обнаружения. Мы увидим, что когда используется указанная выше функция распределения, вероятность обнаружения приближенно не зависит от времени прихода сигнала. Единственное отклонение от этого получается на концах интервала что имеет пренебрежимо малое значение, когда интервал очень велик.

Можно показать, что при предположении о большой длительности интервала наблюдения величины, входящие в

мулу (5.67), приближенно выражаются следующим образом:

где энергия сигнала,

и

преобразование Фурье огибающей сигнала Можем написать

где полоса частот сигнала, определенная в разд. 5 гл. 1, а постоянные, зависящие только от формы сигнала. Приведенные выше результаты получены в предположении, что сигнал не перекрывает значительно концы интервала наблюдения. При этом следовательно.

не зависят от времени прихода Таким образом, наше предположение, что (5.68) выражает наименее благоприятное распределение в пределе, при большом подтверждается.

Если отношение сигнал/шум на входе мало по сравнению с Дев При этом вероятность обнаружения зависит только от величины . Она описывается кривыми, подобными изображенным на фиг. 4.1. Величина оказывается меньше единицы, и вероятность обнаружения очень мала при любой разумной вероятности ложной тревоги Только для больших отношений сигнал/шум на входе, вероятность обнаружения приближается к единице. Для длинного интервала наблюдения, 1, отношение должно быть действительно велико. В этом предельном случае вероятность обнаружения становится приблизительно независимой от длины интервала наблюдения

Статистика испытания, предписываемая в этом случае теорией решений, неудовлетворительна не только потому, что ее физическое осуществление требует сложной системы, но и потому, что она дает очень малую вероятность обнаружения даже для довольно больших отношений сигнал/шум на входе. Как мы отметили в разд. 1, использование наименее благоприятного распределения неизвестных параметров дает лишь гарантию, что вероятность обнаружения будет не меньше определенного значения Хотя статистика и является оптимальной для обнаружения очень слабых сигналов, наблюдатель в действительности не будет ей интересоваться, так как он знает, что обнаружить сигнал надежды нет. Ему нужна система, являющаяся наилучшей для достаточно больших отношений сигнал/шум, при которых можно получить высокую вероятность обнаружения для приемлемой малой вероятности ложной тревоги. Мы должны поэтому видоизменить наше приближение, чтобы не давать предпочтения обнаружению слабых сигналов. В последующих главах мы увидим, как это можно сделать.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)