2. Фильтры

В системах, которые мы будем рассматривать, сигналы преобразуются устройствами, известными под названием фильтров. Вообще фильтр — электрическая цепь с двумя входными и двумя выходными клеммами. Она может содержать сопротивления, индуктивности, емкости, электронные лампы, реле и другие элементы. Если к входным клеммам приложить меняющееся во времени напряжение т. е. если "сигнал на входе" равен на выходных клеммах получится напряжение ("сигнал на выходе"). Фильтр может быть определен системой всех возможных пар входных и выходных сигналов; будем записывать это символически следующим образом: . В этом разделе будут кратко описаны некоторые свойства фильтров.

Ограничение, накладываемое на все физически осуществимые фильтры, состоит в том, что фильтр не может отозваться на входной сигнал раньше, чем этот сигнал начался. Если при то и при Другое ограничение заключается в том, что сигнал на выходе должен всегда оставаться конечным. Про фильтр говорят, что он пассивный, если в нем нет источников энергии; в противном случае он йазывается активным. Усилитель на электронной лампе является активным фильтром, трансформатор — пассивным. Фильтр, элементы которого не меняются во времени, обладает следующим свойством. Если то для всех действительных значений а Такой фильтр называется стационарным или фильтром с постоянными параметрами.

Важный класс составляют линейные фильтры. Выходной сигнал в линейном фильтре всегда представляет линейное преобразование входного сигнала. Это означает, что если две пары входных и выходных сигналов, то

также является допустимой парой входных и выходных сигналов для любых значений Это справедливо и для линейной комбинации любого числа входных и выходных сигналов.

Фиг. 11. Импульсная характеристика фильтра.

Линейный фильтр с постоянными параметрами можно рассматривать как фильтр, преобразующий входной сигнал следующим образом:

Функция называется импульсной характеристикой фильтра. Если входной сигнал очень короткий импульс, который можно представить -функцией Дирака, выходной сигнал Любой входной сигнал можно записать в виде линейной комбинации -функций:

По определению линейного фильтра сигнал на выходе должен быть подобной же линейной комбинацией сдвинутых во времени импульсных характеристик

Так как отклик фильтра не может опережать входной сигнал и, следовательно, при получаем уравнение (1.7).

Фиг. 1.2. Работа линейного фильтра.

Для пассивного фильтра, содержащего такие элементы, как сопротивления, которые рассеивают энергию, отклик на входной сигнал со временем неизбежно исчезнет, так что при Типичный фильтр может иметь импульсную характеристику, подобную изображенной на фиг. 1.1.

Действие линейного фильтра можно представить как интегрирование за все протекшее время функции входного сигнала, сдвинутой по времени нахи умноженной на вес (фиг. 1.2). Значение сигнала на выходе в момент времени

получается перемножением соответствующих значений и интегрированием:

Эта формула эквивалентна (1.7). С увеличением времени весовая функция скользит вправо, действуя на новые ординаты входного сигнала

В этом разделе мы в основном будем иметь дело с линейными фильтрами с постоянными параметрами. Для более полного изучения относящихся к ним вопросов читателю следует ознакомиться с книгами Гарднера и Бернса [3] и Гуиллемина [10, 17].

Фурье-преобразование импульсной характеристики, известное как коэффициент передачи фильтра, будем обозначать через К (со):

Для некоторых фильтров удобно брать входной сигнал в виде напряжения, а выходной сигнал в виде тока. В этом случае называется комплексной проводимостью (адмит-тансом). Если входной сигнал — ток, а выходной сигнал — напряжение, называется комплексным сопротивлением (импедансом). Эти детали не имеют значения для настоящего рассмотрения. Если входной сигнал — комплексная функция времени с частотой со, выходной сигнал, как можно показать с помощью формул (1.7) и (1.9), будет равен

Интеграл Фурье

представляет любой входной сигнал в виде суперпозиции

большого числа синусоид с комплексными амплитудами спектра По определению линейного фильтра, спектр выходного сигнала должен выражаться формулой

Этот результат также сразу получается из формулы (1.7) с помощью теоремы свертки для Фурье-преобразования [приложение А, формула Так как импульсная характеристика действительная функция коэффициент передачи удовлетворяет условию

Для можно вычислить интеграл

выбирая контур интегрирования в нижней части комплексной плоскости (см. приложение А). Поэтому тот факт, что для означает, что коэффициент передачи не может иметь особых точек в этой части плоскости. Поведение комплексной функции для можно описать точнее, используя правило, состоящее в том, что модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля подынтегрального выражения. Это дает

Для физически осуществимых фильтров ограничено интервалом Этот результат также показывает,

что часть комплексной плоскости, где не может содержать особых точек функции

Линейный фильтр наиболее общего типа представляет собой цепь, состоящую из сопротивлений, индуктивностей и емкостей, или так называемых сосредоточенных элементов цепи. В книгах по теории цепей показано, что коэффициент передачи такого фильтра всегда является рациональной функцией . Это означает, что он равен отношению двух полиномов конечной степени

Фиг. 1.3. RС-фильтр.

Из-за неизбежной емкостной связи между элементами и проводами реальный фильтр не может пропускать очень высокие частоты без ослабления, которое растет с частотой: при для действительных со. Из этого следует, что степень полинома в знаменателе выражения для фильтра с сосредоточенными постоянными по крайней мере на единицу выше степени полинома числителя.

В качестве примера рассмотрим простой фильтр фиги 1.3. Если входной и выходной сигналы — напряжения, измеренные на клеммах, как показано на фиг. 1.3, согласно элементарной теории цепей,

Импульсная характеристика такого фильтра, как легко показать, представляет собой спадающую экспоненту

с "постоянной времени" Если входной сигнал — прямоугольный импульс, описываемый формулой (1.5),

выходной сигнал запишется в виде

где длительность импульса на входе. Этот выходной сигнал показан на фиг. 1.4. Спектр сигнала на рыходе в соответствий с (1.6), (1.10) и (1.11) будет

Сигнал на выходе можно найти при помощи Фурье-преобразования этого выражения.

Фиг. 1.4. Прямоугольный импульс, поданный на -контур.

Однако значительно проще использовать импульсную характеристику (1.12) и основную формулу (1.7) или (1.8).

Для цепей более сложных, чем изображенная на фиг. 1.3, импульсную характеристику можно определить таким же образом. Сначала обычными методами находится напряжение на выходных клеммах, когда к входным приложено переменное напряжение отношение выходного напряжения к

входному и есть Импульсная характеристика затем получается при помощи Фурье-преобразования, как в (1.9). Так как для цепей с сосредоточенными постоянными является рациональной функцией со, обратное преобразование производится с помощью нахождения корней знаменателя Эти корни называются "полюсами" коэффициента передачи фильтра. Если корни простые (некратные), используя метод разложения, можно записать в виде

Импульсная характеристика в этом случае представится формулой

(Когда корни кратные, получается более сложное выражение.) Иногда этот анализ выполняется при помощи преобразования Лапласа с переменной При этом применяются те же математические приемы, но на плоскость смотрят с другого направления.

Нелинейные фильтры были рассмотрены и классифицированы Заде [11] и другими. В фильтре простейшею типа сигнал на выходе есть некоторая монотонная функция сигнала на входе: где монотонно возрастает или монотонно убывает. Многообразие возможных нелинейных фильтров безгранично, и единого метода, пригодного для их анализа, не существует.