3. Вероятности ложной тревоги и обнаружения для стохастических сигналов

(а) Характеристические функции

Система обнаружения стохастических сигналов в белом шуме включает вычисление статистики испытания

где комплексная огибающая входного напряжения, а соответственно собственные значения и

собственные функции интегрального уравнения (11.6). Для оптимального обнаружения где спектральная плотность мощности белого шума. Для порогового обнаружения Величина сравнивается с некоторым критическим уровнем если объявляется, что сигнал есть. Конечно, в такой же степени может быть использована и любая монотонная функция статистики

Вероятность ложной тревоги равна вероятности того, что когда сигнала нет. Вероятность обнаружения может быть вычислена для сигналов, средняя мощность которых в раз больше той, для которой система оптимальна, т. е. для сигналов, имеющих автоковариацию Гипотеза, что такой сигнал присутствует, обозначается через Таким образом, должны быть вычислены вероятности

Чтобы найти эти вероятности, нужно знать функции распределения статистики когда присутствует только шум (гипотеза и когда сигнал силы присутствует одновременно с шумом (гипотеза ).

Переменные для всех являются независимыми гауссовыми случайными переменными со средними значениями, равными нулю, и дисперсиями

(Эти результаты можно получить с помощью методов, описанных в разд. 1.) Так как является взвешенной суммой таких независимых случайных переменных, мы можем найти ее функцию распределения методом характеристических функций, введенных в разд. 2 гл. 6. Эти функции, так как все независимы, даются выражением

При гипотезе

так что характеристическая функция равна

Аналогично, заменяя на находим

Когда используется оптимальный обнаружитель, так что

где определитель Фредгольма, рассмотренный в предыдущем разделе. Формула для упрощается при . В этом случае

Полагая, что функция плотности распределения вероятностей при гипотезе есть находим интересующее нас соотношение, сходное с формулой (11.12) для коэффициента правдоподобия,

которое следует из определения характеристических функций (11.40). Если сила сигнала не равна той, для которой была спроектирована система и для которой она была бы

оптимальной таких простых соотношений для функции распределения статистики по-видимому, не существует. Действительно, используя методы, описанные в предыдущем разделе, можно показать, что характеристическая функция дается выражением

в котором функция является решением интегрального уравнения

а новая функция определена соотношением

Будем обозначать характеристическую функцию и функции плотности распределения вероятностей для порогового обнаружителя индексом 6. При этом, используя соотношение получаем

Здесь определитель Фредгольма для ядра определенный в (11.28). Его собственные значения, выраженные через собственные значения ядра равны Таким образом, если функция

является решением интегрального уравнения

имеем

Уделим основное внимание определению функции распределения по которой может быть найдена вероятность обнаружения для оптимального обнаружителя при и по которой может быть вычислена вероятность ложной тревоги Для порогового обнаружителя. Метод нахождения вероятности обнаружения для порогового обнаружителя будет в точности таким же, за исключением того, что ядро заменяется на из (11.47). Вероятность ложной тревоги для оптимального обнаружителя может быть вычислена из (11.44), если функция плотности вероятности распределения известна.

(б) Проблема квадратичного детектора

Кац и Сигерт [3] первые обсудили использованные здесь методы, применив их для отыскания функции распределения напряжения на выходе фильтра, следующего за квадратичным детектором, на входе которого имеется узкополосный гауссов шум с комплексной автоковариацией Эти методы были развиты Сигертом [11, 17]. Если на вход детектора действует а импульсная характеристика фильтра, следующего за детектором, есть напряжение на выходе системы в момент времени пропорционально

Кац и Сигерт раскладывали входное напряжение в ряд Фурье, используя систему собственных функций интегрального уравнения

Можно показать, что эти собственные функции ортогональны с весом При соответствующей нормировке они удовлетворяют уравнению

Собственные значения действительны и, если для всех значений х, положительны. Входное напряжение детектора при этом записывается в виде

случайные комплексные функции времени, значения которых в произвольный, но фиксированный момент времени представляют для нас интерес. Так как случайное входное напряжение стационарно, статистическое описание входного и выходного напряжений не зависит от Из соотношения ортонормальности следует, что напряжение на выходе фильтра, даваемое формулой (11.51), можно представить в виде

независимые гауссовы случайные переменные со средним значением, равным нулю. Их независимость следует из соотношения

Далее, имеем Характеристическая функция выходной величины может быть вычислена способом, намеченным выше. Оказывается, что

Эта функция имеет такую же форму, как характеристическая функция статистики испытания для порогового обнаружения, когда присутствует только шум [формула (11.48)]. Интегральное уравнение (11.52) сводится к уравнению (11.6), если следующий за детектором фильтр задан характеристикой и функция модуляции сигнала постоянна, так что Таким образом, методы, используемые ниже для определения вероятностей ложной тревоги и обнаружения, могут быть также применены и для вычисления функции плотности распределения вероятностей напряжения на выходе фильтра, следующего за квадратичным детектором. Такие "прямые методы" были найдены только для квадратичного детектора. Линейные детекторы и большинство других нелинейных приборов такому простому анализу не поддаются.

(в) Обнаруживаемость для малого времени наблюдения

Когда на входе имеется только шум, функция плотности распределения вероятностей на выходе порогового

обнаружителя дается обратным преобразованием Фурье характеристической функции

Функция дается (11.26). Стоит взглянуть на формулу (11.36), найденную для относительно простого примера предыдущего раздела, чтобы убедиться, что редко бывает легко найти это обратное преобразование в замкнутом виде, даже когда основное интегральное уравнение (11.24) для системы может быть решено. Чаще последнее не может даже быть решено точно, а характеристические функции в явном виде неизвестны. Поэтому необходимо изучить приближенные методы вычисления вероятностей ложной тревоги и обнаружения.

Преобразование (11.53) может быть вычислено формально при использовании бесконечного произведения (11.48). Для положительных значений контур интегрирования должен быть замкнут большим полукругом в нижней полуплоскости z. Функция плотности распределения находится при этом по вычетам подынтегрального выражения в полюсах в нижней полуплоскости. Минус поставлен потому, что контур интегрирования обходится по часовой стрелке:

Если, как это обычно бывает, отрицательных собственных значений нет, в верхней полуплоскости полюсов нет и для Этот факт очевиден из определения (11.37) для которое сводится при этом к сумме

положительных величин. Написанная выше сумма может быть проинтегрирована почленно. Это дает для вероятностей

Конечно, эти вероятности только формально являются одинаковыми, так как критический уровень используемый в пороговом обнаружителе, будет отличаться от уровня для оптимального обнаружителя. Если определитель Фредголъма известен в замкнутом виде, как в (11.36), коэффициенты ряда (11.54) могут быть вычислены точно. При этом нужно брать такое число членов ряда, чтобы получить необходимую точность.

Чтобы судить о том, когда такое решение в виде ряда может быть легче всего применено, обратимся к частному примеру, разобранному в предыдущем разделе. Дифференцируя (11.36) по и полагая находим

Числа даются формулой (4.72); вспомним, что

Ряд (11.54) не будет полезен, если только экспонента не растет быстро с ростом Ясно, что для того, чтобы это имело место, мы должны иметь Следовательно, можно предполагать, что решение в форме (11.54) применимо, когда время наблюдения мало по сравнению с величиной, обратной ширине спектра сигнала. Используя апроксимации (4.73), можно показать, что в случае выражение (11.54) при учете величины первого порядка относительно дает формулу

приближенно справедливую при условии Этот предельный случай соответствует обнаружению узкополосного

шума с автоковариацией при квадратичном детекторе, за которым следует видеофильтр с очень большой полосой. Функция плотности распределения выходного напряжения приближенно дается выражением в котором

В общем случае функции автоковариации при в пределе, при коротком времени наблюдения, ряд для вероятностей приближенно дает

Приближения для собственных значений могут быть получены любым из подходящих методов, подобных методу Релея — Ритца, развитому для интегральных уравнений типа (11.6) [8, гл. 9]. Как обсуждалось в подразделе (б) разд. 4 гл. 4, можно использовать пробную функцию с некоторым количеством неопределенных коэффициентов, выбирая их так, чтобы максимизировать форму

Максимальное значение этого выражения является хорошей апроксимацией наибольшего собственного значения и функция с которой достигается этот максимум, является апроксимацией первой собственной функции ядра Второе наибольшее собственное значение находится подобным же образом при использовании пробных функций, ортогональных апроксимации . В общем случае трудно найти точное значение но здесь и не требуется такой большой точности, как при определении

В пределе, при коротком времени наблюдения или очень узкой ширине спектра сигнала, можно найти вероятности ложной тревоги и обнаружения по формуле в которой для X используется коэффициент при в первом множ ителе представления соответствующей характеристической функции в виде бесконечного произведения. Если

затем исключить критический уровень найдем вероятности обнаружения для оптимального и порогового обнаружителей

На фиг. 11.2 изображены вероятности обнаружения как функции отношения сигнал/шум для нескольких значений вероятности ложной тревоги, когда произведение ширины спектра сигнала и времени наблюдения очень мало.

Фиг. 11.2. Обнаруживаемость сигнала; малое время наблюдения. По оси абсцисс отложена величина

В этом случае при принятии решения о присутствии сигнала система в действительности использует только один

статистически независимый образец сигнала. Чтобы улучшить обнаруживаемости сигналов, необходимо использовать значительно большее время наблюдения. Величина есть средняя энергия сигнала, принятая в течение интервала наблюдения [ср. (1.25)]:

(г) Распределение вероятностей для малых значений U

Если характеристическая функция выходной величины задана в явном виде, можно изучить поведение функции плотности распределения вероятностей для малых значений Мы покажем, что это поведение подобно поведению характеристической функции для больших значений z. Для этого удобно использовать вместо преобразования Фурье преобразование Лапласа функции плотности распределения вероятностей. Первое получается при замене в последнем z на Таким образом, используя первую формулу. (11.48), получаем пару преобразований

Интегрирование в обратном преобразовании производится по контуру Этот контур проходит правее всех полюсов подынтегрального выражения. Если мы, кроме того, определим интегральное распределение выходной величины при гипотезе когда используется пороговый обнаружитель, формулой

для преобразования Лапласа от в соответствии с правилами теории преобразования Лапласа получим Вероятность ложной тревоги при этом равна

В примере подраздела (б) разд. 2 определитель Фредгольма при больших действительных значениях z ведет себя как где а — положительная постоянная. Следовательно, преобразование Лапласа интегрального распределения ведет себя в той же области как Если мы сможем найти функцию величины преобразование Лапласа которой будет вести себя таким образом для больших z, эта функция и будет апроксимацией распределения для малых значений Что это так, следует из определения преобразования

Когда z велико и действительно, подынтегральное выражение существенно велико только для малых значений так как при этом при росте быстро стремится к нулю. Таким образом, формула преобразования для больших действительных значений z должна отражать характер распределения для малых значений

Желаемыми свойствами обладает ряд

Преобразование Лапласа этого ряда [10] дается формулой

где модифицированная функция Бесселя второго рода. Чтобы получить выражение преобразования для

больших значений z, используем асимптотическую форму для модифицированных функций Бесселя [10]:

где символ Неймана:

Подставив в (11.60), находим для больших значений z

Чтобы определить коэффициенты фигурирующие в (11.59), нужно сделать разложение функции для больших значений z и почленно сравнить с (11.61). В примере, разобранном в разд. 2, большие значения z соответствуют большим значениям При используемой здесь апроксимации членом в (11.36) можно пренебречь. После некоторых преобразований находим

Сравнивая с (11.61), находим и окончательно получаем разложение

Можно ожидать, что ряд в скобках справедлив только когда мало по сравнению с или смотря по тому, какая из этих величин меньше. Функцию плотности распределения можно найти, продифференцировав (11.62) по или используя вышеописанную

процедуру для оказывается, что она пропорциональна

Был бы полезен метод для определения разложений, имеющих вид (11.59), когда характеристическая функция в явном виде не дана. Насколько нам известно, такой метод не был опубликован. Он требует изучения поведения резольвентного ядра для больших значений и. Однако некоторые сведения о поведении функции плотности распределения вероятностей для малых значений можно получить, рассматривая приведенный выше результат для сигнала с автоковариацией

Функция распределения остается очень малой для малых значений становясь существенно большой, только когда порядка за счет экспоненциального множителя Чем больше произведение времени наблюдения на ширину спектра сигнала на входе, тем шире диапазон невероятных значений Такое поведение следует ожидать для системы, интегрирующей величины, которые остаются положительными. Очень малое значение их суммы становится тем менее правдоподобным, чем дольше продолжается интегрирование. С другой стороны, когда произведение времени наблюдения на ширину спектра очень велико, система в действительности суммирует большое число независимых случайных переменных, и функция плотности распределения вероятностей этой суммы приближенно гауссова. Гауссова апроксимация лучше всего подходит для значений переменной вблизи ее среднего. Для малых значений поведение функции распределения описывается рядом, подобным (11.59), а для больших значений функция плотности распределения вероятностей становится экспоненциальной, пропорциональной где — наибольшее собственное значение ядра

(д) Ряды Грам — Шарлье

Когда произведение времени наблюдения и ширины спектра сигнала велико, а функция плотности распределения вероятностей на выходе приближенно гауссова, естественный путь для вычисления вероятностей ложной тревоги и обнаружения сострит в использовании рядов Грам — Шарлье,

введенных в разд. 3 гл. 6. Как упоминалось выше, среднее, дисперсия и другие кумулянты статистики могут быть вычислены по логарифму ее характеристической функции при разложении ее в ряд по степеням z. Коэффициенты рядов Грам — Шарлье просто связаны с этими кумулянтами.

Рассматривая случай, когда используется пороговый обнаружитель, мы получаем из (11.27) и (11.48)

Разложение в степенной ряд этого выражения имеет вид

Сравнивая с формулой (6.33), получаем

Вычислив эти кумулянты, подставив их в ряд (6.37) и проинтегрировав, для вероятности ложной тревоги для порогового обнаружения

Величины являются производными функции ошибок, определенной в (6.38). Они были табулированы Гарвардской вычислительной лабораторией [5].

Чтобы найти производные в начале координат, решим сначала интегральное уравнение (11.24) методом итераций:

Коэффициенты этого ряда называются "итерированными ядрами", полученными из Ряд сходится, если где наибольшее собственное значение уравнения (11.6). Полагая и интегрируя, получаем

Таким образом, среднее значение, дисперсия и кумулянты высшего порядка даются формулами

и т. д. Эти результаты относятся к выходному напряжению порогового обнаружителя, когда на входе присутствует только шум. Для случая, когда на входе порогового обнаружителя присутствует сумма сигнала и шума, используются те же формулы с заменой на из (11.47). Изложенный здесь метод был применен Эмерсоном [6] к задаче определения функции плотности распределения

вероятности на выходе фильтра, следующего за квадратичным детектором.

Случай оптимального обнаружителя значительно сложнее и вычисление кумулянтов дает точный результат, только когда отношение сигнал/шум, для которого система была спроектирована как оптимальная, мало, т. е. в случае, близком к пороговому.

Фиг. 11.3. Вероятность обнаружения для порогового обнаружителя. Длительное время наблюдения. По оси абсцисс отложена величина

Чтобы получить кумулянты распределения для подстановки в формулу (11.63), нужно решить уравнение (11.46) с помощью итераций, продифференцировать

результат по столько раз, сколько необходимо, и положить . Для вероятности ложной тревоги полагаем затем Это приводит к некоторому упрощению формул.

Применяя полученные выше формулы к примеру, рассмотренному в разд. 2 только для порогового обнаружения, находим кумулянты при гипотезе

Для коэффициент так что можно ожидать, что ряды Грам — Шарлье точны в пределе, при Формулы для кумулянт при гипотезе сложнее, и мы приводим результаты только для

На фиг. 11.3 изображены вероятности обнаружения для порогового обнаружителя для различных значений вероятности ложной тревоги для равного и , полученные в пренебрежении всеми членами в формуле (11.63), кроме двух первых. При этом имеем

Горизонтальная шкала этих графиков для может давать ошибку вследствие нашей апроксимации около 10%. Абсциссой является логарифм величины пропорциональной постоянной мощности сигнала