6.2. Деформационные соотношения. Двойные тензоры

Пусть

где радиус-вектор материальной точки в недеформированной конфигурации тела. Зависимости для недеформированной конфигурации получим из соответствующих соотношений параграфа 6.1 с добавлением индексов в виде кружочков. Так, по формулам (2.4), (6.1), (6.8)

Таким образом получено первое из следующих выводимых аналогично соотношений:

С учетом условий взаимности (6.6) отсюда следует

(например, При помощи формул (6.10) получаем из (6.43)

Для тензора деформации Коши—Лагранжа имеем согласно (2.17) (6.43) и (6.9)

т. е.

Двойными называют [102] тензоры второго ранга, диады которых составлены из векторов, взятых из разных векторных базисов. Из соотношений (6.45) усматривается, что в них тензоры рассматриваются как двойные тензоры деформации. Существенно, что эти несимметричные тензоры, рассматриваемые как двойные, имеют симметричные компоненты. Отметим, что одни и те же ковариантные компоненты имеют: тензор деформации Коши-Лагранжа (6.46), двойной тензор — градиент движения и единичный (метрический) тензор

Введенный соотношением (3.2) в прямоугольных декартовых координатах градиент симметричного тензора естественным путем обобщается на случай криволинейных координат:

Согласно (2.23) и (6.43)

т. е.

С учетом формул (6.34) и (6.9) соотношения параграфа 2.6 преобразуются к виду

Можно представить вектор смещения и разложением в деформированных материальных осях

При

В заключение приведем следующие из соотношений (2.16), (2.17), (6.43), (6.45), (6.51), (6.52) зависимости

показывающие, что тензоры деформации Грина-Лагранжа и Альманси-Эйлера имеют равные ковариантные компоненты. При этом согласно (6.44)