10.2. Геометрия поверхности

Пусть поверхность описывается векторным уравнением

где криволинейные координаты. Радиус-вектор произвольной точки вблизи поверхности примем равным

где расстояние от точки до поверхности по нормали к последней с единичным вектором (рис. 10.2). Такую систему координат называют нормально связанной с поверхностью. Все соотношения в выбранной системе координат можно получить, заменяя в зависимостях параграфа 6.1 радиус-вектор выражением (10.9) и полагая

Рис. 10.2

Прежде всего из (10.9) следует

(В этой главе буквенные индексы будут принимать значения 1, 2.)

Согласно (6.9) из (10.10)

где

В дальнейшем излагаемое в этой главе будет применено к тонким оболочкам, в которых рассматриваемая поверхность является срединной (равноудаленной от верхней и нижней лицевых поверхностей). При этом

Как выяснится ниже, это сильное неравенство означает, что толщина оболочки много меньше радиусов кривизны срединной поверхности. С этим связано, что все рассматриваемые величины приближенно представимы в виде

т. е. зависимость их от линейна. Так, из (10.11) следует

Поскольку отсюда усматривается, что компоненты симметричного метрического тензора срединной поверхности. Как уже говорилось в параграфе приведенные миноры элементов в определителе имеющем согласно (10.15) вид

и, стало быть,

Согласно же (6.18), (6.23), (10.15) и (10.17)

Отнесем формулы (10.15)-(10.19) к срединной поверхности (полагая в них При этом

Здесь длина элемента дуги координатной линии поверхности, координатный угол, площадь элемента поверхности.

Соотношения (6.6), (6.9), (6.10), (6.13) на поверхности принимают вид

Поверхностный дискриминантный тензор вводится соотношениями

Из зависимостей (10.20), (10.26) следует

Перейдем к дифференцированию координатных векторов. Прежде всего согласно (6.30), (10.15)

где (см. параграф 10.4)

инварианты: гауссова и средняя кривизны поверхности.

С учетом только что полученных выражений находим при из (6.26), (6.28)

где

поверхностные символы Кристоффеля второго рода. Из (6.37) при находим

При рассмотрении общих вопросов теорий поверхностей и оболочек широко используются поверхностные ковариантные производные:

Последняя строка показывает, что для любого инварианта (скаляра, вектора, тензора) ковариантная производная совпадает с обычной частной производной.

Из соотношений (10.30), (10.33) следует

Последние зависимости, соотношения (10.12), (10.25) и применяемое к ковариантному дифференцированию обычное правило дифференцирования произведения дают

Согласно соотношениям (10.32), (10.33)

Отсюда и вытекает первое из следующих выводимых аналогично соотношений

или согласно (10.35)

Применяя к вектору

формулы (10.30), (10.33), получаем

Можно ввести и вектор — поверхностный градиент

Пусть в пространственной прямоугольной декартовой системе координат с ортами

Прежде всего и по (10.12)

где координатный угол, а

Рассмотрим очевидные тождества

Используя дважды соотношения (10.30), приходим к соотношениям Кодацци

и к двум следующим:

Свертывание (суммирование) первого из них с а второго с по индексу приводит с учетом того, что по соотношению Гаусса