8.4.4. Квадрат спектра когерентности
В разд. 8.4.2 было показано, что корреляцию входа и выхода линейной системы на частоте 
можно было бы описать с помощью квадрата коэффициента когерентности 
Этот коэффициент напоминает коэффициент корреляции для каждой из частот. Он измеряет влияние шума в системе, причем высокому уровню шума соответствует малый коэффициент когерентности и наоборот. В гл. 11 будет показано, что спектр когерентности существует у любого двумерного случайного процесса. В настоящем же разделе мы проиллюстрируем это основное понятие, вычислив спектр когерентности двумерного линейного процесса.
Рассмотрим двумерный линейный процесс, изображенный на рис. 8.5. Он имеет следующие авто- и взаимные спектры:
Квадрат спектра когерентности двумерного процесса можно теперь получить, подставляя (8.4.17) в (8.4.10). В результате получим
Рассмотрим далее некоторые частные случаи формул (8.4.17) и (8.4.18).
Случай 1. Предположим, что 
так что 
Тогда
Воспользовавшись (8.1.14) при 
получаем
Следовательно, квадрат коэффициента когерентности тождественно равен единице. Это означает, что процесс 
можно полностью восстановить по 
Для этого нужно было бы превратить 
в белый шум 
с помощью фильтра, имеющего частотную характеристику 
и затем получить 
из 
Случай 2. Предположим, что в 
так что
Из (8.4.17) видно, что 
, следовательно, 
Так как 
и 
- два различных белых шума, то из равенства
коэффициента когерентности нулю следует, что невозможно восстановить, или предсказать, 
по 
Случай 3 (пример 2 из разд. 8.4.1). Значения квадрата коэффициента когерентности между 0 и 1 соответствуют случаям, где 
можно частично восстановить, или предсказать, по 
Рассмотрим, например, двумерный процесс (8.4.2), для которого
Следовательно, 
Таким образом, при 
квадрат коэффициента когерентности обращается в нуль и при 
стремится к единице. Это следовало ожидать, так как при 
шум преобладает над сигналом, а при 
наоборот, сигнал 
превосходит шум.
Рис. 8.9. Теоретический спектр когерентности двумерного процесса авторегрессии (8.1.20).
Случай 4 (влияние задержки). Рассмотрим двумерный процесс, обсуждавшийся в третьем примере из разд. 8.4.1, а именно
При 
квадрат спектра когерентности равен
что совпадает с выражением для 
из предыдущего примера.
Однако, как показано в разд. 8.4.1 и как видно из рис. 8.8, а и 8.8, б, процессы из этих двух примеров имеют заметно отличающиеся фазовые спектры. Таким образом, квадрат спектра когерентности не выявляет каких-либо фазовых отличий этих двух
процессов, и, следовательно, для полного описания двумерного процесса в частотной области требуется как спектр когерентности, так и фазовый спектр.
Случай 5. Рассмотрим дискретный двумерный процесс (8.1.20), имеющий авто- и взаимный спектры, даваемые формулами (8.4.16) при 
Соответствующий спектр когерентности имеет вид
Этот спектр показан на рис. 8.9.
Наиболее важную отличительную черту этого спектра когерентности составляет большой пик на частоте приблизительно 0,125 гц, а также тот факт, что спектр стремится к нулю как в сторону низких, так и в сторону высоких частот.
Рис. 8.10. Теоретический фазовый спектр двумерного процесса авторегрессии (8.1.20).
Появление пика следовало ожидать, поскольку взаимная корреляционная функция содержит периодичность. Это говорит о том, что корреляция этих двух процессов сосредоточена в основном в полосе частот около 0,125 гц. С помощью (8.4.16) находим фазовый спектр этого процесса:
Этот спектр показан на рис. 8.10. Мы видим, что низкочастотные компоненты ряда 1 отстают от компонент ряда 2 примерно на 90°, но с увеличением частоты эта разность фаз стремится к нулю.
. Следовательно, свойства взаимной корреляции двух временных рядов можно описать с помощью квадрата спектра когерентности 
и фазового спектра 
. В разд. 9.2 будет показано, как можно оценить эти спектры по записям конечной длины.
