9.3.3. Улучшение выборочных взаимных спектральных оценок

В последнем разделе было показано, что при оценивании спектра когерентности может получаться значительное смещение, особенно когда имеется большая относительная задержка рядов. В настоящем разделе мы вычислим смещение спектральных оценок когерентности и фазы и покажем, что это смещение можно существенно уменьшить с помощью выравнивания. Выравнивание заключается в центрировании взаимной корреляционной функции таким образом, чтобы ее наибольшее абсолютное значение приходилось на нулевое запаздывание.

Смещение оценок когерентности. Приближенные выражения для смещения сглаженных оценок когерентности можно получить С помощью метода, подобного тому, который мы использовали в разд. 6.3.5. Например, смещение сглаженной оценки спектра когерентности равно

С помощью (3.2.23) это смещение можно аппроксимировать выражением

где смещение оценок соответственно. Предположим на время, что автоспектры почти не меняются на частотном интервале, равном ширине спектрального окна, так что смещением оценок автоспектров можно пренебречь.

Найдем сначала смещение квадрата взаимного амплитудного спектра, т. е. величину

Мы имеем

Так как

то с помощью (9.1.22) и (9.2.3) это выражение приближенно равно

Следовательно,

Так как мы предположили, что Гц почти не меняются на интервале частот, равном ширине спектрального окна, то (9.3.20) сводится к

и из (9.3.18) получаем

Равенство (9.3.22) показывает, что, даже если теоретический взаимный спектр равен нулю, средний сглаженный спектр когерентности может быть очень большим. Этим объясняются показанные на рис. 9.5 большие значения выборочных оценок когерентности для двух независимых процессов авторегрессии первого порядка, обсуждавшихся в разд. 8.2. Например, при

что в среднем хорошо согласуется с выборочными значениями, приведенными на рис. 9.4. Заметим, что с ростом (и, следовательно, с ростом выборочные значения когерентности в среднем также возрастают. Как указывалось в разд. 9.1.2, когда М —

коэффициент когерентности стремится к единице для всех частот

Из формулы (9.3.22) видно также, что фильтрация независимых рядов не улучшает выборочных оценок когерентности. Этот факт продемонстрирован на рис. 9.5, где приведены выборочные значения когерентности независимых процессов до и после фильтрации. На этом рисунке видно, что в обоих случаях значения квадрата спектра когерентности в среднем равны 0,1. Эта величина хорошо согласуется со значением которое получается по формуле (9.3.22).

Чтобы получить явное выражение для смещения (9.3.22), нужно вычислить величину Из (9.2.4) имеем

так что

Отсюда

Записывая

получим

С помощью приближения (6.3.37) для смещения при использовании окна Тыоки получаем

где — вторая производная взаимного спектра на частоте Записывая в виде и дифференцируя по получим

где опущены члены порядка Следовательно, если в (9.3.18) можно пренебречь смещениями то смещение оценки спектра когерентности при использовании окна Тьюки приближенно записывается в виде

При использовании окна Парзена 0,75 надо заменить на 0,54 и на 0,304.

Наиболее важная отличительная черта формулы (9.3.25) состоит в том, что смещение пропорционально квадрату производной фазового спектра. Если пренебречь в (9.3.25) постоянным членом и членом с а, то получим формулу

так что смещение оценки спектра когерентности пропорционально величине когерентности и быстроте изменения фазового спектра. Следовательно, если имеются большие относительные задержки двух процессов, то выборочные оценки когерентности могут сильно ухудшаться, так как будет велико. Смещение взаимных спектральных оценок было впервые обнаружено Аканке [5].

Выравнивание. Смещение оценки когерентности, вызванное фазовым сдвиюм, можно существенно уменьшить с помощью выравнивания (alignment) двух процессов. Предположим, что взаимная корреляционная функция достигает наибольшего по абсолютной величине, или пикового, значения для запаздывания Выравнивание процессов, переводящее это пиковое значение к нулевому запаздыванию, изменяет функцию от значения

к значению

Следовательно,

и в результате смещение (9.3.26) можно существенно уменьшить, как мы покажем в следующем разделе.

Использование фазового спектра для определения параметра выравнивания. Выбор в качестве параметра выравнивания величины 5, соответствующей пику взаимной корреляционной функции, не всегда приводит к удовлетворительным результатам. Может случиться так, что фазовый спектр выравненных рядов все еще будет содержать линейную фазовую компоненту Это будет указывать на то, что необходимо дополнительное выравнивание на величину . В качестве практической рекомендации мы предлагаем первое приближение к параметру выравнивания делать исходя из пика взаимной корреляционной функции. В некоторых случаях этого достаточно для того, чтобы фазовый спектр после выравнивания уже не содержал линейной компоненты. В других же случаях, когда остается линейная компонента можно взять в качестве второго приближения к параметру выравнивания

Смещение оценок фазы. Приближенные выражения для смещения оценок фазы можно получить тем же путем, что и для когерентности. Окончательный результат при использовании окна Тыоки имеет вид

При использовании окна Парзена надо заменить 0,063 в (9.3.27) на 0,152.

Из (9.3.27) видно, что смещение состоит из двух слагаемых, первое из которых пропорционально второй производной фазового спектра, а второе — произведению производной фазового спектра на производную логарифма взаимного амплитудного спектра. Для двумерных процессов, имеющих большие относительные задержки компонент, величина будет, по-видимому, превосходить величину Однако из-за того, что умножается на результирующее полное смещение может оказаться незначительным. Такой случай имеет место в примере с линейной системой, изображенном на рис. 9.11, где показаны теоретический и средние сглаженные спектры. Видно, что они очень хорошо согласуются уже при