§ 22. Вполне непрерывные операторы

Определение. Линейный оператор А, определенный на линейном нормированном пространстве значениями в линейном нормированном пространстве называется вполне непрерывным, если он отображает всякое ограниченное множество пространства в компактное множество пространства

Пусть, например,

где — непрерывное в квадрате . Покажем, что оператор А вполне непрерывен. Пусть — ограниченное множество функций из

Тогда:

1) Функции

равномерно ограничены. Действительно, где

2) Функции равностепенно непрерывны. В самом деле, возьмем любое . В силу равномерной непрерывности ядра найдется такое что

при и любых Но тогда

как только сразу для всех функций Последнее означает равностепенную непрерывность семейства функций

В силу теоремы Арцела множество функций компактно в пространстве . Значит, согласно определению, интегральйый оператор

с непрерывным ядром вполне непрерывен.

Можно показать, что оператор

где

вполне непрерывен как оператор, действующий из

Можно показать также, что вполне непрерывным является оператор Фредгольма с ядром, имеющим слабую особенность.

Упражнение. Показать, что всякий линейный ограниченный оператор в конечномерном пространстве вполне непрерывен.

Отметим некоторые свойства вполне непрерывных операторов.

1) Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным. Однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывным. Простейший пример: единичный оператор в бесконечномерном пространстве не является вполне непрерывным. Покажем это. Пусть X — множество последовательностей вещественных чисел таких, что

Если то определим расстояние между этими элементами по формуле

Можно показать, что так введенное расстояние удовлетворяет аксиомам метрики.

Полученное метрическое пространство называется пространством Рассмотрим, в частности, пространство являющееся линейным нормированным пространством.

Это пространство некомпактно. Более того, в нем имеются Ограниченные некомпактные множества, например замкнутый единичный шар Действительно, рассмотрим последовательность точек из :

Очевидно, при так что последовательность и любая ее подпоследовательность не сходятся, что и доказывает некомпактность Так как единичный оператор отображает единичный шар на себя, а последний некомпактен, то, следовательно, не является вполне непрерывным в бесконечномерном пространстве.

2) Если А и В — вполне непрерывные операторы, то а где — числа, также вполне непрерывный оператор.

3) Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство Е в себя, и В — произвольный линейный ограниченный оператор, действующий в том же пространстве. Тогда и — вполне непрерывные операторы.

В самом деле, оператор В преобразует произвольное Ограниченное множество в ограниченное множество , а это множество оператор А преобразует в компактное множество Следовательно, оператор переводит любое ограниченное множество в компактное и потому вполне непрерывен.

Упражнение. Показать, что оператор вполне непрерывен.

Из того, что единичный оператор не вполне непрерывен, получаем важное следствие.

Вполне непрерывный оператор А в бесконечномерном пространстве не может иметь ограниченного обратного оператора

4) Если последовательность вполне непрерывных операторов отображающих пространство в полное пространство равномерно сходится к оператору А, т. е. то А также вполне непрерывный оператор (см. [19.]).

Пусть Е — бесконечномерное (вещественное) банахово пространство. Последовательность элементов

из Е называется базисом этого пространства, если любой элемент однозначно представим в виде

где — вещественные числа.

Пространство Е называют в этом случае банаховым пространством с базисом.

Рассмотрим вполне непрерывный оператор А, отображающий банахово пространство Е с базисом само в себя. Оказывается, что оператор А можно разложить на сумму двух линейных операторов:

где оператор — конечномерный в том смысле, что для любого элемент принадлежит конечномерному подпространству, определяемому базисными элементами а норма второго не превосходит наперед заданного числа которое можно выбрать сколь угодно малым:

Поэтому говорят, что вполне непрерывные операторы в пространстве с базисом почти конечномерны. Это свойство часто принимают в качестве определения вполне непрерывного оператора:

Линейный оператор А называется вполне непрерывным, он может быть с любой точностью аппроксимирован конечномерным, т. е. может быть представлен в виде суммы конечномерного оператора и опёратора с угодно малой нормой.

Интегральный оператор с вырожденным непрерывным ядром

является конечномерным (и, значит, вполне непрерывным): он отображает все пространство на подпространство линейных комбинаций функций

Рассмотренное в § 14 представление произвольного непрерывного ядра в виде суммы вырожденного ядра и ядра с малой нормой эквивалентна, таким образом, представлению вполне непрерывного интегрального оператора Фредгольма в виде суммы конечномерного оператора и оператора с малой нормой.