§ 31. Функция Грина. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению

1. Функция Грина краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где — непрерывные на функции.

Пусть ищется решение уравнения (1), удовлетворяющее (для просторы) краевым условиям

Рис. 15.

Определение.

Функцией Грина краевой задачи (1)-(2) называется функция двух переменных, определенная в квадрате с и такая, что

1) при как функция удовлетворяет при указанных значениях и уравнению (1).

2) Функция удовлетворяет поставленным граничным условиям

непрерывна при

4) Производная в точке претерпевает скачок:

Учитывая этот единичный скачок в точке и имея в виду правило дифференцирования единичной функции в (рис. 15), заключаем, что

где - -функция (см. [47]), - классическая (обычная) вторая производная функции Грина. Поэтому условия 1) и 4) можно заменить условием

Таким образом, функция Грина имеет простой физический смысл. Это решение задачи для единичного точечного источника:

Теперь можно сразу написать решение краевой задачи (1)-(2) с помощью функции Грина. Именно, решение краевой задачи (1)-(2) дается формулой

В самом деле, в силу условия 2) на функцию Грина, функция определяемая формулой (4), удовлетворяет граничным условиям (2).

Далее,

так что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).

(Становясь на точку зрения «физической строгости», можно всегда дифференцировать под знаком интеграла, если рассматривать результат как обобщенную функцию.) Пример.

Построим функцию Грина задачи (5)-(6). Общее решение однородного уравнения

соответствующего уравнению (5), имеет вид

Поскольку функция должна быть решением этого однородного уравнения при и при представим ее в виде

В силу условия 2) должно быть

что

Условие 3) непрерывности функции Грина при приводит к соотношениям

Наконец, условие 4) принимает вид

Из соотношений (8), (9), (10) находим величины что дает

Нетрудно видеть, что функция Грина симметрична. Это вытекает из общего предложения, утверждающего, что если краевая задача самосопряженная, то функция Грина этой задачи является симметричной.

Физический смысл этого результата есть соотношение взаимности, т. е. отклик в точке на единичное точечное возмущение в равен отклику в на единичное точечное возмущение в

Подробнее с условиями самосопряженности краевой задачи, а также существования единственной функции Грина можно познакомиться, например, в [39].