2.2. МОДЫ ВОЛОКОННОГО СВЕТОВОДА

При любой частоте со волоконный световод может иметь конечное число направляемых мод, пространственные распределения полей которых являются решениями волнового уравнения (2.1.18) при соответствующих граничных условиях. Кроме того, световод может иметь континуум (счетное число) ненаправляемых излучательных мод. Излучательные моды не играют важной роли в обсуждении нелинейных эффектов, поскольку предполагается, что световод имеет совершенную (идеальную) цилиндрическую геометрию, хотя излучательные моды важны в задачах, рассматривающих передачу энергии между связанными и излучательными модами [4]. В этом разделе кратко обсуждаются направляемые моды волоконных световодов [4, 5].

Принимая во внимание цилиндрическую симметрию волоконного световода, удобно записать волновое уравнение (2.1.18) в цилиндрических координатах

где фурье-компоненты электрического поля Е, т. е.

Аналогичные соотношения выполняются и для магнитного поля Так как Е и Н удовлетворяют уравнениям Максвелла только две компоненты из шести независимы. Удобно выбрать как независимые компоненты и выразить остальные через , и удовлетворяющие уравнению (2.2.1). Для решения волнового уравнения относительно используется подстановка

где А - нормировочная постоянная, постоянная распространения

и - целое число. Подставляя (2.2.3) в (2.2.1), для функции получаем следующее уравнение:

где

Показатель преломления и волокна с радиусом сердцевины а имеет вид

Уравнение (2.2.4) хорошо известное дифференциальное уравнение, решением которого являются функции Бесселя. Общее решение в сердцевине можно выразить как линейную комбинацию функции Бесселя и функции Неймана Функция имеет сингулярность при поэтому физический смысл имеет только решение

где к получается из уравнения (2.2.5) заменой и на это показатель преломления сердцевины. В оболочке решение должно экспоненциально убывать с увеличением Таким решением являются модифицированные функции Бесселя

где

Следуя такой же процедуре, можно получить компоненту магнитного поля Н. Граничное условие требует, чтобы тангенциальные компоненты Е и Н были непрерывны на поверхности, разделяющей сердцевину и оболочку, т.е. при должны быть непрерывными функциями.

Непрерывность этих компонент поля на границе сердцевины и оболочки приводит к характеристическому уравнению, решение которого определяет постоянную распространения для моды световода. Так как процедура получения характеристического уравнения хорошо известна [4, 5], сразу выпишем его:

где штрих означает дифференцирование по аргументу. Уравнение

(2.2.9) получено с использованием важного соотношения

которое может быть получено из уравнений (2.2.5) и (2.2.8).

Характеристическое уравнение (2.2.9) в общем случае может иметь несколько решений для каждого целого значения . Удобно выражать эти решения как где - целые числа. Каждое собственное значение соответствует моде волоконного световода. Соответствующее решение уравнения (2.2.1) дает распределение поля моды. Оказывается [4, 5], что существуют два типа мод световода, обозначаемые При эти моды аналогичны поперечной электрической и поперечной магнитной модам планарного волновода, так как аксиальные компоненты электрического и магнитного полей равны нулю. Однако при моды волоконного световода гибридные, т. е. все шесть компонент электромагнитного поля отличны от нуля.

Число мод, поддерживаемых световодом на данной длине волны, зависит от его параметров - радиуса сердцевины а и разности показателей преломления для сердцевины и оболочки Важным параметром каждой моды является ее частота отсечки. Эта частота определяется условием Величина для которой для данной моды определяет частоту отсечки из уравнения (2.2.10). Полезно определить нормализованную частоту V соотношением

где находится из уравнения (2.2.10) при подстановке Параметр V был введен в разд. 1.2; изложенное выше показывает, откуда он возникает и какор его физический смысл.

Характеристическое уравнение (2.2.9) позволяет определить величины -параметра отсечки разных мод. Эта довольно сложная процедура описана во многих работах [4, 5]. Мы будем главным образом рассматривать одномодовые световоды, поэтому ограничимся обсуждением только условия отсечки, при котором волокно может поддерживать только одну моду. В одномодовых световодах поддерживается только -мода, называемая основной модой. Все другие находятся за пределами отсечки, если параметр , где - наименьший корень уравнения или При изготовлении волокон значение V является критическим параметром. Если становится малым, то увеличиваются потери на микроизгибах в волокне. Поэтому на практике обычно делают волокна так. чтобы параметр V был вблизи Длину волны отсечки для одномодового волоконного световода получаем, подставляя в уравнение Для обычных значений разности показателей преломления сердцевин и оболочки мкм при мкм. Такое волокно поддерживает

только одну моду для мкм. Для того чтобы получить одномодовое волокно в видимой области, нужно, чтобы радиус сердцевины был менее 2 мкм.

Поле соответствующее моде имеет три ненулевые компоненты или, в декартовых координатах, среди которых либо либо преобладает. Таким образом, с большой точностью основную моду можно считать линейно-поляризованной в или -направлении в зависимости от того, или преобладает. В этом отношении даже одномодовые волокна, вообще говоря, не являются одномодовыми, так как они могут поддерживать две ортогонально-поляризованные моды. Иногда используют обозначение для линейно-поляризованных мод, являющихся приближенным решением уравнения (2.2.1). В этих обозначениях основная -мода соответствует

При идеальных условиях две ортогонально-поляризованные моды вырожденны (т. е. они имеют одинаковые постоянные распространения). На практике нерегулярности, такие, как случайные изменения диаметра сердцевины вдоль длины волокна, снимают вырождение мод, приводят к случайному смешиванию двух поляризационных компонент и к изменению поляризации вводимого излучения при распространении его вдоль волоконного световода. Как было сказано в разд. 1.2.4, световоды, сохраняющие состояние поляризации, получаются путем создания сильного двулучепреломления, снимающего вырождение мод. Такие волокна могут сохранять линейное состояние поляризации, если излучение вводится поляризованным в направлении одной из главных осей световода. Предполагая, что вводимое излучение поляризовано вдоль главной оси (например, -оси), электрическое поле основной моды приближенно можно представить как

где нормировочная постоянная. Поперечное распределение поля в сердцевине следует из уравнения (2.2.6):

где радиальное расстояние. Снаружи сердцевины световода поле экспоненциально спадает, как [4]

где в уравнении (2.2.7) приближено первым членом асимптотического разложения и добавлен постоянный множитель, чтобы выполнялось условие равенства при в уравнении (2.2.13) и (2.2.14). Постоянная распространения в уравнении (2.2.12) является решением характеристического уравнения (2.2.9). Частотная зависимость определяется не только частотной зависимостью

и называемой материальной дисперсией, но и зависимостью к от частоты; такая зависимость называется волноводной дисперсией. Как было показано в разд. 1.3, материальная дисперсия преобладает в спектральной области вдали от длины волны, отвечающей нулевой дисперсии. Чтобы определить вообще говоря, требуется численное решение уравнения (2.2.9), однако в определенных частных случаях можно получить приближенные аналитические выражения [4] Эффективный показатель преломления связан с соотношением

Так как распределение поля моды определяемое уравнениями (2.2.13) и (2.2.14), громоздко и неудобно, на практике основную моду часто приближенно описывают гауссовским распределением

где параметр размера моды определяется путем подгонки точного распределения к гауссовской форме или вариационным методом. На рис. 2.1 показана зависимость от параметра V, определяемого уравнением (2.2.11). Сравнение действительного распределения поля с гауссовским приближением также показано при Качество приближения обычно довольно хорошее [6], особено для значений

V вблизи 2. Из рис. 2.1. видно, что а при поэтому радиус сердцевины является неплохой оценкой размера моды. Отметим, что становится значительно больше а при Использование гауссовского приближения (2.2.15) с соответствующей величиной и широко используется на практике ввиду относительной простоты.

Рис. 2.1. Изменение размера пятна моды в зависимости от параметра полученное полгонкой основной моды волоконного световода к гауссовскому распределению. Рисунок справа показывает качество этой подгонки при [6].