13.3.3. Решение переопределенной системы

Как упоминалось выше, три точки дают избыточную информацию. Например, когда мы добавляли вторую точку, нам необходимо было

Рис. 13.5. (см. скан) Моделирование задачи наименьших квадратов с помощью механической системы. Точки, соответствующие друг другу в двух системах координат, соединены между собой пружинами. Решение задачи наименьших квадратов соответствует положению равновесия этой системы, в котором потенциальная энергия пружин минимальна.

знать фактически лишь направление (два неизвестных). Таким образом, мы имеем переопределенную систему уравнений. Лучший выход из этого положения — использовать метод наименьших квадратов. Мы знаем, что из-за ошибок измерения уравнения не могут удовлетворяться точно. Поэтому мы пытаемся минимизировать сумму квадратов ошибки. Пусть вектор ошибки, где точке измерения. Используя обозначение перепишем подлежащее минимизации выражение в виде

причем должны выполняться шесть условий ортогональности матрицы Минимум ищется по параметрам Задача нетривиальна ввиду нелинейности уравнений. Можно найти решение, введя множители Лагранжа (см. приложение о минимизации при наличии ограничений). Конечно, теперь мы можем для увеличения точности выполнить более трех измерений. Тогда выписанная выше сумма квадратов ошибок будет включать больше членов.

Для лучшего понимания рассмотрим механическую аналогию этого метода решения. Предположим, что каждая точка одного объекта

прикреплена к соответствующей точке другого с помощью пружины (рис. 13.5). Эта механическая система стремится занять положение, при котором ее энергия достигает минимума. Поскольку энергия пружины пропорциональна квадрату ее длины, то устойчивое состояние будет достигнуто при минимальной сумме квадратов длин пружин.