11.2. Характеристические и начальные линии

Кривые, являющиеся решениями пяти обыкновенных дифференциальных уравнений, называются характеристическими линиями, а их проекции на изображение — базовыми характеристиками. В действительности решения для х, у, z, р и образуют характеристическую полосу, так как они определяют не только кривую в пространстве, но и ориентацию поверхности вдоль этой кривой (рис. 11.5).

Для получения полной поверхности мы должны «сшить» характеристические полосы. Каждая из них должна иметь точку, в которой заданы начальные значения; из нее начинается решение. Если нам задана начальная линия на поверхности, то решение для поверхности можно

Рис. 11.7. Метод восстановления формы по распределению полутонов используемый для восстановления формы носа. а - грубо дискретизированное полутоновое изображение, готовое к вводу в компьютер:б — базовые характеристики, наложенные на первое изображение; в — линии уровня, вычисленные по оценкам, найденным вдоль характеристических кривых.

гюлучить, если эта линия нигде не касается ни одной из характеристик. На этой линии начальные величины и можно получить с помощью уравнения освещенности изображения и известных производных вдоль кривой. Предположим, например, что начальная линия задана через параметр в виде и . Тогда вдоль этой кривой

Таким образом, мы сейчас ввели метод распространения характеристической полосы при решении дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В нашем случае релевантным уравнением является уравнение освещенности изображения, т. е. (возможно,

нелинейное) уравнение в частных производных первого порядка.

На рис. 11.7 представлены изображение лица, преобразованное в цифровую форму, то же лицо с наложенными на него базовыми характеристиками и то же лицо с линиями уровня восстановленной поверхности.