§ 49. Параллельное перенесение векторов

1. Если в каждой точке некоторой кривой на поверхности

задан вектор

принадлежащий поверхности, то дифференциал этого вектора не принадлежит, вообще говоря, данной поверхности, т. е. не лежит в ее касательной плоскости.

Действительно, если

то

или в силу деривационных формул (2) § 48

Изменяя индекс суммирования и собирая коэффициенты при соответствующих векторах, получим окончательно:

Таким образом, полный дифференциал вектора разлагается на две части:

из которых первая принадлежит поверхности и может быть названа поэтому внутренней, а вторая направлена по нормали и может считаться внешней частью дифференциала. Только в случае вектора, принадлежащего плоскости, внешняя часть дифференциала всегда равна нулю, так как в этом случае

2. Среди понятий внутренней геометрии поверхности, рассмотренных нами, до сих пор отсутствует всякий аналог понятия параллелизма.

Чтобы получить такое понятие, будем исходить из понятия параллельного перенесения отрезка.

Если этот отрезок принадлежит плоскости, то при его параллельном перенесении соответствующий ему вектор остается неизменным, так что условие параллельного перенесения имеет вид

Рассмотрим теперь отрезок, соответствующий вектору а, принадлежащему поверхности в ее точке

Если мы перенесем его параллельно, в обычном смысле этого слова, в соседнюю точку то мы встретим там касательную плоскость, направленную иначе, чем в точке Перенесенный отрезок не будет, вообще говоря, лежать в этой плоскости, а соответствующий ему вектор а перестанет принадлежать поверхности.

Постараемся теперь видоизменить понятие о параллельном перенесении вектора так, чтобы при этом перенесении вектор оставался принадлежащим поверхности.

Для этого заменим условие (4) более слабым условием равенства нулю внутренней части дифференциала вектора а.

Будем говорить, что вектор, принадлежащий поверхности в точках кривой переносится параллельно вдоль этой кривой, если внутренняя часть его дифференциала равна нулю при любом значении

Очевидно, что из этого условия не вытекает неизменность вектора а. Его полный дифференциал будет, вообще говоря, отличен от нуля. Он должен быть только направлен по нормали к поверхности.

Итак, для параллельного переноса вектора, принадлежащего поверхности, необходимо и достаточно, чтобы его полный дифференциал был направлен по нормали этой поверхности в соответствующих точках кривой, по которой он переносится:

Из (2) следует также, что в силу независимости векторов условие параллельного перенесения сводится к системе уравнений

Интегрируя равносильную ей систему уравнений

при начальных условиях

мы получим определенное решение которое позволит построить значение вектора а, перенесенного из точки, соответствующей значению параметра в любую точку данной кривой.

Заметим, кроме того, что коэффициенты уравнения (7) совпадают с символами Кристоффеля и, следовательно, остаются неизменными при изгибании поверхности.

Отсюда следует, что если вектор, принадлежащий данной поверхности, переносится параллельно, то соответствующий ему вектор поверхности, наложимой на данную, тоже переносится параллельно по соответствующей кривой этой поверхности, и, таким образом, понятие параллельного переноса принадлежит внутренней геометрии поверхности.

Чтобы отличить параллельное перенесение вектора в обычном смысле этого слова от параллельного перенесения по поверхности, мы будем называть последнее внутренним параллельным перенесением.

Заметим, наконец, что для векторов, принадлежащих плоскости, внутреннее параллельное перенесение совпадает с параллельным перенесением в обычном смысле этого слова.

3. Леви-Чивита, который первый ввел понятие параллельного перенесения, дает еще следующий способ его осуществления.

Опишем развертывающуюся поверхность вдоль некоторой кривой расположенной на поверхности, т. е. построим огибающую плоскостей, касающихся поверхности в точках данной кривой.

Если в этих точках задан вектор а, принадлежащий поверхности, то его, как и самую кривую, можно считать принадлежащим описанной развертывающейся поверхности.

Развернем последнюю на плоскость и предположим, что кривая перейдет в плоскую линию а вектор а — в вектор принадлежащий плоскости.

Так как касательные плоскости описанной развертывающейся поверхности совпадают с касательными плоскостями данной поверхности, то вектор а будет переноситься по ней параллельно тогда и только тогда, когда он переносится параллельно и по развертывающейся поверхности.

С другой стороны, при наложении на плоскость вектор, переносящийся параллельно, перейдет в вектор, переносящийся параллельно.

Сопоставляя эти факты, придем к следующему условию параллельного перенесения: для того чтобы вектор переносился параллельно вдоль кривой на данной поверхности, необходимо и достаточно, чтобы он переходил в вектор, переносящийся параллельно по плоскости при развертывании на эту плоскость развертывающейся поверхности, описанной вдоль данной кривой.

Из свойств обычного параллельного перенесения следует, что длина векторов, углы между ними, площади параллелограммов, построенных на этих векторах, а также скалярные и косые их произведения сохраняются при внутреннем параллельном перенесении этих векторов вдоль кривой на поверхности.

Полезно отметить также следующий очевидный результат: вектор постоянной длины переносится параллельно, если он образует постоянный угол с другим вектором, переносящимся параллельно по поверхности.