§ 61. Поверхности Вейнгартена

Конгруэнция называется принадлежащей классу если ее лучи определяют на фокальных поверхностях такое соответствие, при котором их асимптотические линии соответствуют друг другу.

Мы рассмотрим здесь только нормальную -конгруэнцию; поверхности, которым нормальны лучи такой конгруэнции, называются

поверхностями Вейнгартена. Таким образом, поверхности Вейнгартена характеризуются соответствием асимптотических линий на их эволютных поверхностях.

Будем предполагать, что исходная поверхность задается уравнением

а ее эволютные поверхности — уравнениями

где имеют тот же смысл, что и в предыдущем параграфе.

Найдем выражение тензора второй квадратичной формы фокальной поверхности (3). Для этого заметим, что в силу (4) § 60 ее касательные векторы

а единичный вектор нормали равен а.

Искомый тензор второй формы равен, таким образом,

а так как вследствие (3) § 60 и (17) § 52

то

Свертывая с получим соотношения

где

Для того чтобы асимптотические линии поверхностей (2) и (3) соответствовали, необходимо и достаточно выполнение условия

Но в таком случае из следует, что а из (5)

или

Обратно, если это условие выполнено, то в силу симметрии принимают вид

а в силу независимости отсюда следует (6).

Обратимся к условию (7). Так как есть градиент геодезиче ского потенциала а, то

а в силу (1) § 56 отсюда следует, что поле геодезически-изотермическое.

Таким образом, для того чтобы поверхность принадлежала классу Вейнгартена, необходимо и достаточно, чтобы ее эволютные поверхности были наложимы на поверхность вращения, а ребра возврата развертывающихся поверхностей совпадали с линиями, соответствующими меридианам.

Кроме того, в силу (8) § 60 соотношение (8) равносильно функциональной зависимости между

Итак, поверхность Вейнгартена характеризуется функциональной зависимостью между радиусами ее главных кривизн.

Отсюда непосредственно следует, что поверхности вращения, а также поверхности постоянной средней или полной кривизны суть поверхности Вейнгартена.