ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ГРУПП

Если мы хотим выяснить, является ли данное множество с определенной на нем бинарной операцией группой, нам следует проверить, выполняются ли сформулированные в предыдущей главе аксиомы. Давайте выясним, какие из рассмотренных далее множеств можно считать группами. Начнем с группы А (см. стр. 10).

Пример 1. Множество элементов: все целые числа (положительные, отрицательные и нуль).

Бинарная операция: сложение.

Ассоциативность: сложение чисел ассоциативно.

Единичный элемент: нуль является элементом рассматриваемого множества и для любого целого числа и выполняются равенства . Нуль является единицей группы.

Обратные элементы: если u — целое число, то , противоположное число, также является целым и таким образом, является обратным к и элементом, или, в групповых обозначениях, .

Итак, проверка показывает, что А есть группа. Так как она содержит бесконечно много элементов, то мы будем говорить, что эта группа бесконечна, и называть ее бесконечной аддитивной группой, или аддитивной группой целых чисел.

Пример 2. Рассмотрим то же множество, что и в примере 1, но теперь с операцией умножения. Читатель может убедиться, что умножение является бинарной операцией на множестве целых чисел и что для этой операции справедливы аксиома ассоциативности и аксиома о единичном элементе.

Чтобы выяснить, выполняется ли аксиома 3, попытаемся найти элемент, обратный к элементу 2. Нам нужно найги целое число и, такое, что или . Такого целого числа не существует. Следовательно, это не группа.

Пример 3. Множество состоит из двух чисел а в качестве бинарной операции возьмем умножение:

Ассоциативность: очевидно.

Единичный элемент: единицей является 1.

Обратные элементы: имеем . Таким образом, обратным к любому элементу является он сам.

Итак, это группа. Число элементов в ней конечно, и поэтому мы будем говорить, что эта группа конечна. Порядок конечной группы равен числу ее элементов. Рассматриваемая группа есть группа порядка 2.

Пример 4. Существует ли группа порядка 1? Будет ли группой множество, состоящее из одного числа 1 с умножением в качестве бинарной операции? Проверка трех аксиом показывает, что это действительно группа порядка 1.

Пример 5. Теперь рассмотрим группу, элементами которой являются движения геометрической фигуры. При изучении этой группы мы столкнемся со многими существенными особенностями таких движений. Возникающие при этом понятия будут часто встречаться в дальнейшем, и потому мы займемся этим вопросом довольно подробно. К тому же это поможет читателю заложить прочную основу для дальнейшего.

Рассмотрим движение равностороннего треугольника, который может вращаться в своей плоскости вокруг оси, проходящей через его центр. За элементы предполагаемой группы примем некоторые вращения этого треугольника, а в качестве бинарной операции — их суперпозицию, или «последовательное выполнение» (см. стр. 17).

Нас будут интересовать только те движения, в результате которых повернутый треугольник совмещается с исходным. Такие движения назовем самосовмещениями.

Чтобы дать конкретное описание самосовмещений, выберем некоторое произвольное положение нашего равностороннего треугольника на плоскости в качестве его начального положения.

Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

Затем мы сопоставим каждой вершине некоторое число как ее опознавательную метку. Тогда наш равносторонний треугольник будет выглядеть, как это показано на рис. 3.1. Точка в центре — это точка пересечения оси вращения с плоскостью треугольника. Метки при вершинах помогут нам их узнать, когда вершины будут смещены некоторым движением из нашего множества. Нужно помнить, что для совмещения треугольника с самим собой не обязательно, чтобы каждая (помеченная) вершина совпала с собой, нужно только, чтобы множество точек, составляющих стороны треугольника после поворота, совпало с множеством точек, составляющим его стороны в начальном положении. Например, если треугольник, изображенный на рис. 3.1, будет повернут вокруг оси на 120° против часовой стрелки, то мы сможем рассматривать повернутый треугольник как второй треугольник, наложенный на треугольник, находящийся в начальном положении. Эта ситуация изображена на рис. 3.2. Цифры в скобках соответствуют расположению вершин треугольника, когда он находился в начальном положении.

Мы видим, что такое вращение связано с перестановкой вершин, а именно вершина 1 замещается вершиной 2, вершина 2 — вершиной 3, вершина 3 — вершиной 1.

Совмещение с собой в результате вращения удобно представлять себе с помощью «разделения» двух положений треугольника (см. рис. 3.3). Заметим, что угол при вершине 1 зачернен, для того чтобы легче было следить за движениями треугольника.

Рис. 3.3. Слева треугольник изображен в начальном положении, а справа — после вращения на 120° против часовой стрелки.

Хотя два положения треугольника изображены рядом, не следует забывать, что этот рисунок — лишь удобное представление такого вращения треугольника, после которого он совмещается с собой.

Существуют ли другие вращения, которые переводят треугольник из исходного положения во второе положение, изображенное выше? Конечно, таким будет вращение на 240° по часовой стрелке, равно как и вращение против часовой стрелки на 480 или 840°. Читатель может сам убедиться, что любое вращение из бесконечного множества

обладает этим свойством (вращения против часовой стрелки на отрицательный угол интерпретируются как вращения по часовой стрелке).

Все движения из множества А обладают общим свойством, а именно все они одинаковым образом объединяют в пары вершины нашего треугольника в начальном положении с вершинами того же треугольника после поворота:

Читателю следует обратить внимание на то, что вращения из множества А обладают этим свойством вне зависимости от того, какое положение треугольника мы выбрали в качестве начального.

Пусть теперь а — произвольный элемент множества А.

Рис. 3.4. Слева изображено начальное положение треугольника; справа — положение, которое принял треугольник в результате движения а.

Движение а можно рассматривать как представитель множества А в том смысле, что вращение а переводит треугольник из (произвольно) выбранного начального положения в такое положение, когда он совмещается с исходным, а вершины объединяются в пары следующим образом (рис. 3.4):

(Помните, что все движения из множества А обладают этим свойством.)

В этой ситуации нам кажется удобным обозначить через а некоторое движение из множества А. Например, можно взять в качестве а поворот на 120° против часовой стрелки. Такой выбор соответствует k = 0 в выражении Если читатель предпочтет какое-либо другое а, он может выбрать, скажем, k = 13 и запомнить, что вращение на 4800° против часовой стрелки является «его собственным» представителем множества А.

Тот или иной выбор — это лишь вопрос удобства. Существенно здесь лишь то, что все движения, входящие в множество А, объединяют вершины нашего треугольника в пары одинаковым образом, не зависящим от выбора начального положения треугольника.

Рис. 3.5.

Используя наши опознавательные метки обозначим это объединение в пары так:

Существуют ли другие, не входящие в множество А вращения, которые являются самосовмещениями этого треугольника? Рассмотрим множество вращений

В результате каждого из этих движений происходит наложение, изображенное на рис. 3.5. Рис. 3.6 изображает то же самое, но в «разделенной» форме.

Рис. 3.6. Слева изображен треугольник в начальном положении.

Как и выше, пусть b обозначает произвольный элемент множества В, который и будет его «представителем» Для удобства мы пометили на рисунке символом I положение, которое принял треугольник в результат движения b.

Вне зависимости от того, какое вращение мы выбрали в множестве В, мы получаем следующую группировку в пары вершин нашего треугольника:

(т. е. вершина 1 замещается вершиной 3, вершина 3 — вершиной 2 и вершина 2 — вершиной 1).

Есть еще одно множество движений, которые переводят треугольник в себя, — это множество

На рис. 3.7 символом с обозначен произвольный элемент множества С.

Рис. 3.7. Слева изображен треугольник в начальном положении.

Отметим, что результат движения с состоит в следующем: треугольник совмещается со своим исходным положением; при этом вершины группируются следующим образом:

Наша цель — получить группу движений, и, так как группа должна иметь единицу (аксиома о единичном элементе), нам следует убедиться, что любое движение с из множества С удовлетворяет требованиям, предъявляемым к единичному элементу. Действительно, если — произвольный элемент множества А, В или С, то как суперпозиция движений с и так и суперпозиция и с суть вращения из того же множества, что и х. Чтобы проверить это, вспомним, что вращения, например, из множества А — это вращения на а вращения из множества С — это вращения на ,

Если два вращения выполняются последовательно, то угол, на который окажется повернутым в результате обоих вращений треугольник, есть сумма углов, на которые поворачивается треугольник при каждом из них. Таким образом, суперпозиция вращений а и с есть поворот на угол

или

Так как — целые числа, то k + m — также целое число и, следовательно, суперпозиция а и с есть вращение из множества А. Аналогично, суперпозиция с и а есть вращение на из множества А.

В обозначениях группового умножения (стр. 23) это запишется так:

и результат не зависит от того, какие элементы а, b и с выбраны в качестве представителей множеств А, В и С соответственно. Эти соотношения объясняют, почему мы будем использовать символ (обозначающий единичный элемент) для произвольного элемента из множества С.

Мы перебрали все возможные вращения вокруг выбранной нами оси, являющиеся самосовмещениями данного треугольника. Каждое такое вращение содержится в одном из трех множеств A, В, С с представителями а, b, I, соответствующими положениям треугольника, изображенным (в «разделенном» виде) на рис. 3.8. Отметим, что каждое из трех положений треугольника помечено символом, обозначающим то движение треугольника, которое переводит его из заданного начального положения в изображенное на рисунке.

Мы утверждаем, что множество, состоящее из трех классов самосовмещений с представителями I, а, b, образует группу с операцией «последовательного выполнения» в качестве бинарной операции.

Чтобы проверить, что операция «последовательного выполнения» является на этом множестве бинарной операцией, и убедиться в том, что аксиомы группы выполнены, найдем произведение любых двух элементов.

Рис. 3.8.

Найдем, например, определяя, какая группировка вершин в пары соответствует суперпозиции вращений а и b:

Движение а связывает вершину 1 с вершиной 2 (так, как это было описано на стр. 29), а движение b — вершину 2 с вершиной 1; таким образом, в результате суперпозиции движений а и b вершина 1 объединяется в пару сама с собой. То же самое происходит и с другими вершинами. Итак,

Ясно, что

Читатель может легко убедиться в том, что (и тогда будут рассмотрены уже все произведения).

Мы установили таким образом, что суперпозиция — бинарная операция на нашем множестве. Осталось проверить лишь выполнение групповых аксиом,

Ассоциативность. Мы уже проверили (стр. 20), что операция «последовательного выполнения» ассоциативна, когда элементами множества являются движения.

Единичный элемент. Предыдущие рассуждения показывают, что множество С с представителем I есть единица.

Обратные элементы. Так как разумеется, то каждый элемент в нашем множестве обладает обратным.

Пример 6. Предположим, что нас интересуют не сами целые числа, а лишь их остатки от деления на 2; будем считать два числа эквивалентными, если они дают при делении на 2 один и тот же остаток. Два целых числа эквивалентны, если оба они четные или оба нечетные.

Тот факт, что числа 6 и 8 имеют один и тот же остаток при делении на 2, мы будем выражать записью

где означает «эквивалентно», — «по модулю». Аналогично можно написать

так как 7 и 3 дают одинаковые остатки при делении на 2. Таким образом, если через обозначить произвольное четное число, а через у — нечетное, то

Действительно, понятие «эквивалентность по модулю 2» дает нам возможность взять 0 и 1 в качестве «представителей» четных и нечетных чисел соответственно.

Мы теперь можем исследовать группу с элементами 0 и 1 и бинарной операцией «сложение по модулю 2».

Определим сложение по модулю 2 (обозначаемое через двух целых чисел а и b следующим образом:

т. е. если обычная сумма — четное число, и

Сложение по модулю 2 является бинарной операцией на множестве так как

или

Ассоциативность. Легко проверить, что сложение по модулю 2 ассоциативно; например,

Единичный элемент. Здесь 0 является единицей.

Обратные элементы. Каждый элемент является обратным к самому себе, так как .

Мы, таким образом, разбили множество целых чисел на два класса — класс четных чисел с представителем 0 и класс нечетных с представителем 1. Можно также разбить это множество на три класса, рассматривая остатки от деления на 3. Все целые числа, которые дают остаток 0 при делении на 3, составляют один класс, все те, которые дают остаток 1, — второй класс, и все те, которые дают остаток 2, — третий. Мы пишем, например,

т. е. целые числа, которые дают один и тот же остаток при делении на 3, эквивалентны по модулю 3.

Аналогично можно рассматривать классы чисел, эквивалентных по модулю 4, исследуя остатки от деления на 4, и вообще классы целых чисел, эквивалентных по модулю произвольного целого .

Так как при делении на возможны остатки мы получаем классов с представителями

Читателю следует попытаться самостоятельно проверить, что множество

с бинарной операцией «сложение по модулю n» составляет группу. [Если х — произвольный элемент нашего множества, то каков его обратный? Ищем элемент у, такой, что ), замечая, что ]

Пример 7. Рассмотрим теперь множество целых чисел {1, 2, 3, 4} с бинарной операцией «умножение по модулю 5». Таким образом, для любых целых чисел r и s из нашего множества

т. е. если целые числа и t дают один и тот же остаток при делении на 5. Например,

Читателю следует проверить, что умножение по модулю 5 есть бинарная операция на указанном выше множестве, убедившись, что произведение любых двух элементов нашего множества эквивалентно целому числу из того же множества.

Ассоциативность следует из ассоциативности обычного умножения целых чисел. (Проверьте это.)

Единичный элемент. Единицей является элемент 1.

Обратные элементы. Элемент 1 совпадает со своим обратным. Элементы 2, 3 и 4 удовлетворяют следующим соотношениям, которые определяют их обратные:

Читателю следует попытаться установить, было ли необходимым отсутствие в нашем множестве элемента 0, т. е. будет ли множество группой относительно операции умножения по модулю 5.

Другой вопрос к читателю: составляет ли группу множество с бинарной операцией умножения по модулю 4? Попытайтесь сначала найти обратный к 2, т. е. такой элемент из нашего множества, что .

Пример 8. Пусть — простое число, т. е. число, у которого всего два целых положительных делителя: 1 и . Рассмотрим множество

Мы утверждаем, что «умножение по модулю р» есть бинарная операция на этом множестве и что групповые аксиомы здесь выполняются. Предоставляем читателю показать, что выполнены аксиома ассоциативности и аксиома о единичном элементе. Доказательство того, что справедлива аксиома об обратных элементах, мы также предоставляем читателю в качестве упражнения.

Упражнение 4. Рассмотрите множество , где — простое число, с бинарной операцией «умножение по модулю p». Покажите, что для любого элемента из этого множества существует элемент у того же множества, такой, что .