Строение таблицы умножения группы.

Теперь мы ближе познакомимся с внутренним строением таблицы умножения группы. Прежде всего мы исследуем «совпадение», отмеченное выше в п. (4), а именно тот факт, что строки и столбцы таблицы умножения группы являются перестановками верхней строки и левого столбца соответственно. Мы покажем, что это совсем не случайное совпадение, а скорее характеристическое свойство таблицы умножения произвольной группы. После того как это будет сделано, мы станем рассматривать таблицу умножения группы как квадратную таблицу, которая образована расположенными в определенном порядке символами. В этой таблице мы будем выявлять взаимное расположение (конфигурации) символов и показывать, как оно отражает групповые связи. Таким путем структура группы будет выражена через «геометрические» свойства ее таблицы умножения. Можно показать, что и, обратно, квадратная таблица с такими «геометрическими» свойствами является таблицей умножения некоторой группы.

«Разрешимость» групповых «уравнений». Когда мы имеем дело с элементами группы и соотношениями между ними, то часто бывает необходимо уметь отвечать на следующий вопрос: существует ли для заданных элементов а и b в некоторой группе элемент этой группы, такой, что ? Мы утверждаем, что и есть искомый элемент группы, так как

т.е. удовлетворяет групповому «уравнению» .

Возможны ли другие решения этого уравнения? Мы ответим на этот вопрос, показав, что если у есть решение уравнения то другими словами, элемент является единственным решением.

Сначала предположим, что существует элемент у нашей группы, для которого . Мы знаем, что существует (аксиома об обратных элементах).

Можно умножить каждую часть уравнения слева на и убедиться, что представляют собой один и тот же элемент группы, т. е.

Следовательно,

или

Так как мы уже проверили подстановкой, что элемент удовлетворяет уравнению наше утверждение, что элемент является единственным решением, доказано. Отметим, что для доказательства были необходимы все групповые аксиомы. Решение уравнения вида

где а и b — элементы группы, может быть получено аналогично. Умножая справа на получаем решение

Сформулируем наш способ решения как «правило»: чтобы «решить» уравнение умножаем его слева на и получаем чтобы «решить» уравнение умножаем его справа на и получаем .

Упражнение 5. Найти в каждом из следующих уравнений:

В качестве первого приложения предыдущих результатов докажем одно соотношение между элементами группы и их обратными, которое будет полезно в дальнейшем. Предположим, что мы рассматриваем элемент группы, который представлен как произведение других элементов группы. Пусть, например,

Вопрос таков: как можно представить элемент обратный к элементу d? Эквивалентный вопрос: как найти элемент группы такой, что или ? Из предыдущих рассуждений мы знаем, что это уравнение имеет единственное решение. Чтобы найти его, умножим сначала уравнение слева на мы получим

Затем умножим его слева на и получим

Чтобы убедиться в справедливости равенства покажем, что . Действительно,

Аналогично, если , то . Схема ясна, и мы можем высказать общее утверждение: если , то или, иначе, обратный к произведению есть произведение обратных к сомножителям, взятых в противоположном порядке.

В качестве еще одного приложения процедуры решения групповых уравнений докажем теорему, которая объясняет, почему любая строка (столбец) таблицы умножения группы является перестановкой элементов любой другой строки (столбца).

Предположим, что мы рассматриваем группу порядка , состоящую из элементов (конечно, среди них есть единичный элемент , но он не обозначен этим символом). Выберем среди них произвольный элемент и обозначим его через b. Образуем множество из произведений

умножая элементы слева на b. Мы утверждаем, что эти произведения дают исходных элементов группы, быть может, в другом порядке. Чтобы доказать это, мы покажем сейчас, что никакие два элемента в множестве таких произведений не могут представлять собой один и тот же элемент группы. Предположим, например, что где Тогда, умножая слева на получаем

Но — различные элементы группы, если следовательно, предположение, что приводит к противоречию, и, значит, при Таким образом, все произведений различны. Так как каждый из различных элементов является элементом исходной группы, то все вместе они должны давать все ее элементов. Это завершает доказательство.

Мы доказали наше утверждение для умножения слева. Аналогичные соображения можно применить к множеству произведений, получающихся умножением элементов группы на фиксированный элемент справа, и это завершит доказательство следующей теоремы о конечных группах:

Теорема 1. Если различные элементы группы порядка n и если b — фиксированный элемент этой группы (он должен, конечно, совпадать с одним из элементов ), то каждое мнсгсеств произведений

содержит все элементы группы, возможно, в другом порядке (а именно всякий раз, когда ).

Эта теорема окончательно убеждает нас в том, что любая групповая таблица умножения состоит из строк и столбцов, которые являются перестановками строки, стоящей над таблицей, и столбца, стоящего слева от таблицы, соответственно.

Соображения, которые мы сейчас изложим, преследуют цель показать, с одной стороны, что групповые аксиомы и их следствия налагают определенные требования на взаимное расположение элементов в таблице умножения и, с другой стороны, что квадратная таблица «такого образца» является таблицей умножения некоторой группы. Эти частные рассуждения стоят несколько в стороне от основной линии изложения, так что не беда, если это короткое отступление и не будет полностью усвоено при первом чтении.

Предположим, что задано множество символов, образующих квадратную таблицу, которая является таблицей умножения некоторой группы. Тогда таблица обладает следующими пятью свойствами. (Читатель может обратиться к таблице умножения группы порядка 6 на стр. 48, чтобы проследить эти свойства на конкретном примере.)

(1) Таблица содержит в точности столько различных символов, сколько у нее строк (столбцов); таким образом, если квадратная таблица имеет n строк и n столбцов, то среди символов, составляющих таблицу, находится в точности различных. Это свойство таблицы отражает тот факт, что группа есть множество из n элементов с бинарной операцией.

(2) Каждая строка и каждый столбец содержат каждый символ в точности один раз. Это в сущности утверждение теоремы 1.

(3) Предположим, что символы, представляющие все различные элементы некоторой группы, расположены в произвольном, но фиксированном порядке и что строки и столбцы групповой таблицы умножения помечены согласно этому упорядочению.

Например, пусть мы имеем упорядоченные символы . Мы знаем, что символ I для единичного элемента должен встретиться при любом упорядочении символов. (В нашем примере мы поставили его на третье место.) В соответствии с групповой аксиомой с единичном элементе квадратная таблица должна обладать таким свойством: одна из строк нашей таблицы, а именно строка, помеченная символом I, тождественна строке символов, расположенной над таблицей, и один из столбцов, а именно столбец, помеченный символом I, тождествен столбцу символов, расположенному слева от таблицы. Это свойство иллюстрируется таблицей 4.8.

Таблица 4.8

(4) Групповая аксиома об обратных элементах определяет такое свойство квадратной таблицы: каждый символ таблицы можно связать с другим символом так, что на пересечении строки, помеченной первым из этих символов, скажем , и столбца, над которым стоит второй символ (обозначим его s), стоит символ на пересечении строки, помеченной символом s, и столбца, над которым стоит символ , также стоит символ I, и эти два символа I расположены симметрично относительно главной диагонали. Это расположение элементов (табл. 4.9) отражает тот факт, что или что s есть обратный к элемент.

(5) Закон ассоциативности соответствует следующему свойству квадратной таблицы, являющейся таблицей умножения некоторой группы. Предположим, что мы так выбрали внутри таблицы два произвольных символа и s, что на пересечении столбца, содержащего , и строки, содержащей s, стоит символ .

Таблица 4.9

Таблица 4.10

Над столбцом, содержащим символ r, стоит некоторый элемент группы, скажем у. Строка, содержащая символ , помечена слева с помощью некоторого элемента группы, который мы обозначим через и. Аналогично, над столбцом, содержащим s, стоит элемент а строка, содержащая s, помечена элементом v (табл. 4.10). Закон ассоциативности проявляется в том, что на пересечении строки, содержащей , и столбца, содержащего s, т. е. в клетке для их произведения, должен находиться элемент . Чтобы убедиться в этом, заметим, что

т. е.

Таким образом, таблица умножения должна включать такую конфигурацию:

Упражнение 6. Пусть задана квадратная таблица, которая является таблицей умножения некоторой группы.

Какой элемент должен стоять в четвертой (с вопросительным знаком) вершине каждого из следующих «прямоугольников» внутри таблицы:

Чтобы завершить обсуждение свойств таблицы умножения группы, мы вернемся к вопросам, поднятым в начале этой главы. Сколько информационных символов требуется, чтобы задать группу как единый математический объект? И как можно записать эту информацию? Вот ответы на эти вопросы: для конечной группы порядка нам нужно информационных символов, а именно все возможные попарные произведения элементов группы. Эти произведений расположены в квадратной таблице умножения. Квадратная таблица будет таблицей умножения группы тогда и только тогда, когда она обладает указанными выше пятью «геометрическими» свойствами.

Упражнение 7. Построить таблицу умножения группы с элементами 1, 2, 3, 4 и бинарной операцией «умножение по модулю 5» (см. стр. 36, где разбиралась эта группа остатков).