Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 3.17. Наилучшие алгоритмы
Рассмотрим алгоритм
, (3.53)
где
(3.54)
—
диагональная матрица, а
— оператор, преобразующий вектор
в диагональную
матрицу. Определим па этом алгоритме функционал (3.52). Тогда
. (3.55)
Условие
минимума этого функционала запишется так:
,
(3.56)
В общем случае
зависит нелинейно
от
, а
значит, и от
.
Поэтому уравнения (3.56) нельзя решить относительно
в явной форме. И единственный
путь нахождения
состоит
в применении к (3.56) регулярного итеративного алгоритма типа
,
(3.57)
где
и
в
интервале времени между
-м и
-м шагами. Этот алгоритм позволяет определить
как значение
при
достаточно большом
.
Итеративная процедура (3.57), разумеется, должна происходить в убыстренном
масштабе времени.
Предполагая, однако, что норма вектора
, т. е.
, мала, что в силу
алгоритма (3.53) эквивалентно малости
, можно приближенно определить
в явной форме. Пусть
диагональная матрица
— неособая; тогда,
ограничиваясь линейным приближением, запишем условие (3.56) приближенно в виде
(3.58)
Здесь

—
матрица вторых производных.
Учитывая теперь, что при любом
мы хотим соблюдения
равенства
, (3.59)
получаем
из (3.58)
. (3.60)
Если
использовать свойство обращения произведения матриц, то окончательно (3.60)
запишется так:
. (3.61)
Теперь можно, согласно (3.54),
определить
и
затем соответствующий этой матрице алгоритм (3.53), который принимает вид
. (3.62)
Поскольку этот алгоритм справедлив при
малых
, то
уместно его называть приближённо наилучшим алгоритмом. Аналогичным образом
можно получить наилучшие непрерывные алгоритмы. Интересно отметить, что для них
не существует ограничений (малость
), которые в случае дискретных алгоритмов
заставляют довольствоваться приближенно наилучшими алгоритмами.