§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин  и  было придумано специальное обозначение:  обозначается  как , а  — как . Величина  означает «небольшой добавок к », причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок  ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как  не означает . Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок  напоминает нам о его особом характере. Ну, а если  не множитель, то его нельзя сократить в отношении . Это все равно, что в выражении  сократить все буквы и получить . В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения  при , стремящемся к нулю, т. е.

                                                                       (8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. . Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала , а это, вообще говоря, происходит, только когда  достаточно мало. В таких случаях обычно пишут , где под  подразумевают интервал времени  при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал  достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение  будет уже приближенным. Однако если мы пишем , то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение  точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

.

Величина  называется «производной  по » (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же  и  появляются отдельно, а не в виде отношения , то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции , или просто производную от . Она оказалась равной . Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение , которое может описывать движение точки. Буквы  так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени . Рассмотрим для этого момент , причем к  прибавится некоторая добавка , и найдем, как выражается  через  Поскольку

а

то

.

Но нам нужна не сама величина , а отношение . После деления на  получим выражение

,

которое после устремления  к нулю превратится в

.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные  или  или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем  устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.

Таблица 8.3. Некоторые производные

 - произвольные функции

 — произвольнее постоянные.