§ 4. Поле тяготения больших тел
Теперь
рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении
масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только
отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем
одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта
вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной
точке
(фиг.
13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть
, а масса единицы
площади этой плоскости есть
.
Фигура 13.5. Сила притяжения материальной
точки материальной плоскостью.
Пусть
будет постоянной:
слой однороден. Какой же величины поло
создается массой
, удаленной от
не ближе, чем на
, и не дальше, чем
на
(
— это точка
плоскости, ближайшая к
)? Ответ:
. Но оно, это поле,
направлено вдоль
, а мы понимаем, что из трех
составляющих
после
сложения всех
должна
остаться лишь
составляющая.
Она равна
.
Все массы
, которые находятся на
одном и том же расстоянии
от
, дадут одно и то же значение
, так что за
можно сразу
принять массу всего кольца между
и
, т. е.
(
— это площадь кольца радиусом
и шириной
при
). Итак,
.
Но
из-за того, что
. Поэтому
. (13.17)
Стало
быть, сила не зависит от расстояния
! Почему? Не ошиблись ли мы? Казалось
бы, чем дальше от плоскости, тем сила слабее. Но нет! Если точка находится
вплотную к плоскости, то большая часть вещества притягивает ее под неудачными
углами, а если вдалеке, то у большей части вещества притяжение направлено
прямее к плоскости. На любом расстоянии самая «влиятельная» часть плоскости
лежит в некотором конусе. С удалением сила ослабляется обратно пропорционально
квадрату расстояния, но в том же конусе под тем же углом оказывается больше
вещества, а рост количества вещества тоже пропорционален квадрату расстояния!
Этот анализ может быть сделан более строгим, если заметить, что дифференциал
вклада любого данного конуса не зависит от расстояния в результате
противоположных изменений напряженности поля данной массы и количества самой
этой массы (с ростом расстояния). Впрочем, на самом деле сила не постоянна, ибо
на другой стороне плоскости она меняет знак.
Мы
решили, кстати, и задачу по электричеству: мы доказали, что у заряженной
пластины, каждая единица площади которой несет заряд
, электрическое поле равно
и направлено от
пластины, если она заряжена положительно, и к ней, если она заряжена
отрицательно. Чтобы доказать это, надо просто вспомнить, что в законе тяготения
играет
ту же роль, что
в
электричестве.
А теперь
пусть имеются две пластины, одна с положительным зарядом
, а другая с отрицательным
(на единицу
площади), и пусть промежуток между ними равен
. Каково поле этих пластин? Снаружи
пластин поле равно нулю. Отчего? Оттого, что одна из них отталкивает, а другая
притягивает и у обеих сила не зависит от расстояния, значит, силы всюду
уничтожаются! А вот поле между пластинами вдвое больше, чем поле одной
пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и равно
.
Перейдем
теперь к еще более интересному и важному вопросу; впрочем, мы давно уже
ответили на него, предположив, что сила притяжения Земли в точке на ее
поверхности или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосредоточилась в
ее центре. Справедливость этого предположения не очевидна: ведь когда мы
находимся у самой земли, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая
далека и т. д. Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом,
что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку,
стянулась к своему центру!
Мы
теперь покажем, что это чудо обыкновенное; чтобы продемонстрировать это,
разобьем Землю на тонкие сферические слои. Пусть вся масса сферы равна
. Давайте
рассчитаем потенциальную энергию частицы массы
на расстоянии
от центра сферы (фиг.
13.6). Мы увидим, что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса
сферы вся
собралась в ее центре. (Легче иметь дело с потенциальной энергией чем с
напряженностью поля: не нужно думать об углах, а просто складывать
потенциальные энергии всех частей сферы.) Нарежем сферу на узкие пояски, и
пусть
—
расстояние плоскости пояска от центра сферы; тогда вся масса пояска толщиной
находится на
одном и том же расстоянии
от точки
, а потенциальная энергия
притяжения этого пояска равна
. Сколько же массы содержится в
пояске
?
Вот сколько:
,
где
— поверхностная
плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его
высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы
есть
.
Но мы видим, что
.
Значит, или
,
или
.
Поэтому
и получается
. (13.18)
Фигура 13.6. Тонкий сферический слой масс
(или зарядов).
Стало
быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы
внешней по отношению к
слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно
представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит
только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля
действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!
Но
посмотрим, что произойдет, если точка
окажется внутри слоя. Проделывая те
же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений
, но уже в другой
форме:
?
(двойное расстояние от
до центра). Другими словами, теперь
становится равной
, что не
зависит от
,
т. е. точка
всюду
внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не
действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри.
Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова,
то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия
сил, сила действует только снаружи.