Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Консервативные силыВ
природе существуют силы, скажем сила тяжести, обладающие замечательным
свойством — «консервативностью» (никаких политических идей, ничего
двусмысленного в этом понятии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу
выполняет сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит
от траектории; но в особых случаях эта зависимость пропадает. Если работа не
зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна. Иными словами, если
интеграл от произведения силы на приращения смещений между точками
Фигура 14.2. Возможные пути, соединяющие две точки в поле сил. Чтобы доказать это, рассмотрим фиг.
14.2. Фиксируем произвольную точку Обозначим
эту функцию положения через
Значит,
работа на участке
Величина
Итак, у
нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняемая силой, равна изменению
кинетической энергии системы, но 2) математически для консервативных сил
выполненная работа равна минус изменению функции
Рассмотрим формулу потенциальной энергии для ряда случаев. Если поле тяготения однородно, если мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена вертикально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть,
и за
точку Энергия,
необходимая для сжатия пружины на расстояние
и нуль
потенциальной энергии приходится на точку Потенциальная
энергия тяготения точечных масс
Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал на бесконечности. Конечно, эту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же:
Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, посмотрим, поняли ли мы их смысл. Вопрос: С какой скоростью должна отправиться ракета с Земли, чтобы покинуть ее? Ответ: Сумма кинетической и потенциальной
энергий должна быть постоянной; покинуть Землю — значит удалиться от нее на
миллионы километров; если у ракеты только-только хватает сил, чтобы покинуть
Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и
что на бесконечности она будет едва-едва двигаться. Пусть
С какой
скоростью должен двигаться искусственный спутник, чтобы не падать на Землю? Мы
когда-то решали эту задачу и получили Продолжим
теперь наш обзор характеристик потенциальной энергии. Давайте рассмотрим
взаимодействие двух молекул или двух атомов, например двух атомов кислорода.
Когда они находятся далеко друг от друга, они притягиваются с силой, обратно
пропорциональной седьмой степени расстояния, а при тесном сближении они сильно
отталкиваются. Проинтегрировав минус седьмую степень расстояния, чтобы получить
работу, мы увидим, что потенциальная энергия Если мы
чертим некую кривую потенциальной энергии
Фигура 14.3. Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов как функция расстояния между ними. Почему мы говорим о потенциальной энергии? Потому что идея силы не очень пригодна для квантовой механики, тем более естественна идея энергии. Когда мы рассматриваем более сложные взаимодействия: ядерного вещества, молекул и т. д., то, хотя понятия силы и скорости «рассасываются» и исчезают, оказывается, что понятие энергии все же остается. Поэтому в книгах по квантовой механике мы находим кривые потенциальной энергии, но очень редко увидим график силы взаимодействия двух молекул, потому что те, кто изучает эти явления, больше уже привыкли думать об энергии, чем о силе. Заметим еще, что, когда на тело одновременно действуют несколько консервативных сил, потенциальная энергия тела есть сумма потенциальных энергий от каждой силы. Это то, что мы утверждали и раньше, потому что, когда сила представляется векторной суммой сил, работа, производимая ею, равна сумме работ, производимых отдельными силами; поэтому ее можно представить как изменения потенциальных энергий от каждой силы но отдельности. Значит, общая потенциальная энергия равна сумме всех частей. Мы можем
обобщить это на случай системы многих тел, как, например, Юпитера, Сатурна,
Урана и т. д. или атомов кислорода, азота, углерода и т. д., взаимодействующих
друг с другом попарно, причем силы взаимодействия каждой пары консервативны. В
таких условиях кинетическая энергия всей системы есть просто сумма кинетических
энергий всех отдельных атомов, или планет, или частиц, а потенциальная энергия
системы есть сумма потенциальных энергий взаимодействия отдельных пар,
рассчитанных в предположении, что других частиц нет. (На самом деле для
молекулярных сил это неверно, и формула получается несколько сложнее; для
ньютонова тяготения это определенно справедливо, а для молекулярных сил годится
лишь как приближение» Можно, конечно, говорить о потенциальной энергии
молекулярных сил, но она иногда оказывается более сложной функцией положений
атомов, чем простая сумма попарных взаимодействий.) Поэтому потенциальная
энергия в частном случае тяготения представляется суммой по всем парам
|
1 |
Оглавление
|