Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2.6. Векторный фильтр Калмана
Возможности применения рассматриваемых методов калмановской
фильтрации значительно расширяются при переходе к многомерным системам. Вместе
с тем для получения основных уравнений рекуррентного оценивания векторных СП
достаточно повторить преобразования, уже выполненные при выводе алгоритма
(2.35). Поэтому остановимся лишь на некоторых особенностях синтеза многомерного
фильтра.
Для описания
-мерной информационной СП воспользуемся
векторным авторегрессионным уравнением (1.48):
.
Оценка СП
производится на основе анализа
последовательности
- мерных наблюдений
(2.38)
где
-матрица;
-мерная
некоррелированная гауссовская СП с нулевым средним и
.
Записывая рекуррентную процедуру формирования оценки в виде
аналогичном
(2.33), найдем следующее выражение для ошибки фильтрации
, где
– единичная диагональная
матрица. Оптимизация оценки связана с поиском матриц
, для которых минимальна
ковариационная матрица
ошибок фильтрации:
, (2.39)
где
-матрица;
. Анализ
(2.39) показывает, что наилучшим является выбор
. Обозначая минимальное значение
через
, можно записать
уравнение для рекуррентной оценки CП в виде:
, (2.40)
,
где
.
Применение алгоритма (2.40) предполагает нахождение
обратной матрицы
размером
на каждом
шаге фильтрации. В некоторых случаях удобно использовать другую форму
представления коэффициентов
, (2.41)
для которой размер обращаемой матрицы составляет
элементов. С помощью
непосредственной подстановки нетрудно убедиться в тождественности вычислений
матриц
и
по формулам (2.40) и
(2.41).
Полученные результаты (2.40), (2.41) обобщают алгоритм фильтрации
(2.35), (2.36) скалярной последовательности. Сравнение этих выражений
показывает, что структура фильтра Калмана и наиболее существенные
особенности процесса рекуррентного оценивания сохраняются и в многомерном
случае. В частности, разность
следует рассматривать как векторный сигнал
ошибки, который взвешивается с учетом соотношения элементов ковариационных
матриц ошибок фильтрации
и помехи
и добавляется к прогнозированному
значению
оцениваемого
-мерного
параметра
.
В заключение рассмотрим задачу рекуррентного оценивания
изменяющегося параметра
, заданного уравнениями
, (2.42)
аналогичными (2.32). При этой оценка параметра
осуществляется на основе
наблюдений
.
Для решения поставленной задачи введем вектор информационных параметров
и запишем модель
наблюдений в виде:
,
где
.
Уравнения (2.42) также представим в векторной форме
, где
;
;
.
Введенные обозначения дают возможность применить формулы (2.40)
для построения алгоритма фильтрации CП
. Раскрывая векторные обозначения в (2.40),
можно представить рекуррентные оценки параметров в виде:
,
Рис. 2.7. Реализации случайных последовательностей
где
и
– элементы
ковариационной матрицы ошибок
. Характерные реализации СП
и
, полученные с помощью вычислений
по найденным формулам при
, приведены на рис. 2.7. По мере увеличения
количества шагов оценивания
дисперсии ошибок фильтрации (2.40) убывают
так же, как и в одномерном случае (рис.2.5,а), стремясь к некоторым
предельным значениям.