<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


1.5. Марковские последовательности

         Во многих радиотехнических приложениях случайные величины  связаны со значениями непрерывного процесса   в моменты времени , то есть . В этом случае упорядоченная система непрерывных СВ   (рис. 1.2) называется случайной последовательностью (CП).

         Простейшее вероятностное описание СП соответствует независимым СВ , тогда совместная ПРВ . Однако последовательность независимых СB представляет собой математическую модель довольно узкого класса реальных процессов. Действительно, с помощью СП с независимыми значениями невозможно дать описание «гладких», коррелированных помех или медленно изменяющихся параметров полезных сигналов, например, координат радиолокационных целей. Поэтому во многих задачах необходимо использовать модели СП с зависимыми значениями. В общем случае совместная ПРВ таких СП определяется по формуле

Рис. 1.2. Случайная последовательность

         Математические трудности применения этой формулы для вероятностных расчетов быстро нарастают с увеличением  . В связи с этим необходимо из всех возможных СП с зависимыми значениями выделить класс СП, имеющих относительно простое математическое описание. Очевидно, наиболее простые соотношения для ПРВ получатся, если положить

                             .                             (1.41)

Это равенство означает, что условная ПРВ и, следовательно, любые другие вероятностные характеристики СП для момента времени  являются функциями только значения , принятого СП в предшествующий момент времени. Случайные последовательности, удовлетворяющие (1.41), называются марковскими по имени  русского математика А.А.Маркова, разработавшего основы теории таких СП. Марковская последовательность называется однородной, если условные ПРВ  , называемые ПРВ перехода, не зависят от . Марковская последовательность называется стационарной, если она однородна и все состояния  имеют одну и ту же безусловную ПРВ .

         Примером марковской СП может быть процесс, полученный с помощью линейного преобразования последовательности  независимых гауссовских СВ  по следующему правилу:

                                                                    (1.42)

где . Каждое очередное значение  содержит часть предыдущего  и добавку в виде независимой СВ . При выборе начального значения , обеспечивающего стационарность и постоянство дисперсии  , параметр  равен коэффициенту корреляции между любыми двумя соседними значениями СП. Действительно, умножая левую и правую часть (1.42) на  и находя математическое ожидание, получим   или .

Повторяя аналогичные операции после подстановки  в уравнение (1.42)   можно записать следующую формулу для корреляционной функции СП

                         ,                                 

где  .

         Таким образом, СП (1.41) имеет экспоненциальную корреляционную функцию. В то же время СП (1.42) является марковской, поскольку любые вероятностные характеристики значения  полностью определяются только предшествующим значением СП . При заданном  формула (1.42) позволяет найти все характеристики  без учета предыстории, т.е. значений  СП. Так, условная ПРВ

    (1.43)

может быть получена из ПРВ  с учетом связи  и правил  нахождения ПРВ функций СВ (п. 1.4). Заметим, что легко записать выражение и для совместного распределения произвольного числа   членов рассмотренной марковской СП:

                                    (1.44)

Поскольку вид всех ПРВ перехода (1.43) не зависит от номера члена СП, то уравнение (1.42) представляет однородную марковскую СП. Для стационарности необходимо выбрать СВ  таким образом, чтобы все безусловные ПРВ   были одинаковыми. Проведенный анализ (1.42) показывает, что в стационарном случае все члены  последовательности имеют нулевое среднее и дисперсию . Кроме того, CП  гауссовская, так как получена в результате линейного преобразования (1.42) гауссовских СВ . Таким образом, ПРВ всех  значений  стационарной  последовательности (1.42) будут иметь следующий вид: . При этом начальное значение  формируется как нормальная СВ с нулевым средним и дисперсией , а последующие члены последовательности образуются в соответствии с рекуррентным соотношением (1.42).

         Уравнение (1.42), которое часто называется уравнением авторегрессии или стохастическим разностным уравнением, представляет весьма узкий класс гауссовских марковских СП с экспоненциальной корреляционной функцией. Вместе с тем имеются различные возможности для существенного расширения этого класса  [6-8]. Одной из них является описание СП с помощью авторегрессионных уравнений более высокого порядка:

                ,                 (1.45)

где порядок авторегрессии. С помощью подбора коэффициентов  можно получить гауссовские СП ,  с разнообразными корреляционными свойствами [6]. Действительно, умножая (1.44) на  и находя математические ожидания, получим после деления на , следующее соотношение для значений корреляционной функции (КФ):

 

                                (1.46)

 

Общее решение этого разностного уравнения в стационарном случае представляется суммой экспонент [23]:

 

                 ,                          

где  корни характеристического уравнения . Требование стационарности СП (1.45) выполняется, если , т.е. когда все корни    характеристического уравнения лежат вне единичного круга на комплексной плоскости.

         Подставляя в (1.46) значения  получим известную систему уравнений Юла-Уокера [6-8]:

.         

Решение этой системы позволяет найти коэффициенты  уравнения авторегрессии (1.45) по заданным или оцененным на основе эксперимента значениям  корреляционной функции СП.

         В качестве примера рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка: . Для стационарности процесса необходимо, чтобы корни характеристического уравнения  лежали вне единичного круга, т.е. чтобы параметры  и  находились в треугольной области, показанной на рис. 1.3 [6].

         Значения  КФ стационарной СП связаны между собой рекуррентным соотношением , с начальными условиями   и . Из этого соотношения следует, что 

                     ,                              

где  и корни    характеристического уравнения; . Дисперсия СП находится по формуле: . Система двух уравнений Юла-Уокера   позволяет определить коэффициенты  и  уравнения авторегрессии по заданным или измеренным значениям  и  КФ.

Рис. 1.3. Область значений коэффициентов 1 и 2  стационарной СП

         Вид КФ определяется областью треугольника допустимых значений коэффициентов  и , (рис. 1.3). Если , корни характеристического уравнения действительны и КФ представляет сумму двух затухающих экспонент. При  (область I на рис. 1.3) корни имеют разные знаки: . Отрицательному корню соответствует осциллирующее слагаемое . Однако в области I коэффициент  и КФ  не изменяет знака. Во второй области, показанной на рис. 1.3, оба корня положительны и КФ монотонно убывает. На одной границе области II   авторегрессия имеет первый порядок и .

         На другой границе  характеристическое уравнение имеет кратный корень . В этом случае выражение для КФ запишется в таком виде: , где . В третьей области рис. 1.3 корни характеристического уравнения комплексные и КФ определяется по следующей формуле: , где . При этом графики КФ имеют вид синусоиды с экспоненциальным уменьшением амплитуды.

Рис.1.4.   Корреляционные функции при

         Для иллюстрации рассмотренных ситуаций на рис. 1.4 и рис.1.5 представлены зависимости КФ  при различных значениях параметров  и  авторегрессионного уравнения. При построении зависимостей КФ на рис.1.4 коэффициенты  подбирались из различных областей треугольнике допустимых значений (рис.1.3), но с учетом дополнительного условия . Для всех КФ, представленных на рис.1.5, таким дополнительным условием является один и тот же интервал корреляции  на уровне , т.е. .

         Как следует из (1.45) и рассмотренного примера, последовательности авторегрессии второго и более высоких порядков не являются марковскими. Условные распределения очередного значения  зависят от  предшествующих значений  СП. Например, условная ПРВ

.

Рис.1.5.   Корреляционные функции при

При решении ряда задач целесообразно представить подобные СП в виде компонента векторной марковской СП. Для этого введем мерный вектор , первым компонентом которого является значение   скалярной СП (1.45). Поскольку , то правая часть (1.45) определяется линейной комбинацией компонентов  и все необходимые соотношения между элементами  и  запишутся как система линейных уравнений

      

или в векторной форме:

                                ,                                (1.47)

где

                   .                           

Очевидно, уравнение (1.47) определяет марковскую СП векторов , первые компоненты которых совпадают по вероятностным свойствам со   СП (1.45). Вместе с тем при произвольных матрицах  и СП  с ненулевыми компонентами уравнение (1.47) дает возможность представления большого класса гауссовских векторных марковских СП. Дальнейшее существенное расширение этого класса происходит, если допустить изменение во времени матричных коэффициентов (1.47) и ковариаций СП , т.е. перейти к нестационарным СП. В этом случае стохастическое разностное уравнение (1.47) запишется в виде:

                              ,                              (1.48)

где  ковариационная матрица компонентов . С помощью подобных уравнений можно описать, например, систему трех взаимосвязанных изменяющихся координат  радиолокационной цели или шести координат космического аппарата. В таких задачах число компонентов вектора  часто приходится увеличивать для учета производных (скоростей изменения)  каждой из координат. Тогда .

При гауссовских  уравнение (1.48) определяет нестационарную гауссовскую марковскую СП с нулевым средним. Для нахождения ковариаций  домножим (1.48) справа на  и найдем математические ожидания:

               .                        

В результате получим рекуррентное соотношение

                         ,                                  

 позволяющее последовательно вычислить элементы ковариационных матриц всех членов СП (1.48). Заметим, что взаимные ковариации   находятся с помощью умножения (1.48) на  справа и вычисления математического ожидания.



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>