§ 47. Эллиптическое поперечное сечение

Пусть контур поперечного сечения скручиваемого стержня задан уравнением Очевидно, мы удовлетворим условию на контуре, если возьмем для функции напряжений выражение

Коэффициент должен быть выбран таким образом, чтобы было удовлетворено основное уравнение (76). Вставляя в него выражение (а), находим и функция напряжении в случае эллиптического сечения

представится в таком виде:

Дифференцированием находим для напряжений выражения

При мы придем к известным формулам для случая кручения круглых стержней.

Наибольшего значения касательные напряжения достигают у концов малой полуоси эллипса. Положив найдем из формул (78) для наибольшего напряжения значение

Рис. 63.

При практических приложениях обыкновенно приходится определять напряжения, соответствующие заданному моменту скручивающей пары. Чтобы установить связь между и воспользуемся формулой (75). Вставляя вместо найденное значение (77) и принимая во внимание, что

получаем

Коэффициент, на который приходится множить величину чтобы получить скручивающий момент, обыкновенно называют жесткостью при кручении. Мы будем ее обозначать буквой С. Для эллипса значение С может быть представлено в такой форме

Здесь обозначает площадь поперечного сечения, его полярный момент инерции.

Функция напряжений (77), взятая нами для сплошного стержня эллиптического сечения, будет годиться также для трубки, поперечное сечение которой образовано двумя подобными эллипсами (рис. 63). В самом деле, наше решение удовлетворяет основному дифференциальному уравнению (76) и условию на наружном контуре.

Остается показать, что и на внутреннем контуре будет соблюдено условие Координаты любой точки внутреннего контура удовлетворяют уравнению Так как эллипсы подобны, то Следвательно, на внутреннем контуре функция напряжений (77) имеет постоянное значение и удовлетворяет, таким образом, всем условиям задачи.

Для определения жесткости при кручении придется в этом случае из величины (81) отнять величину жесткости, соответствующую внутреннему эллипсу.

Имея распределение напряжений, легко получить перемещения отдельных точек скручиваемого стержня. Перемещения , соответствующие поворачиванию отдельных поперечных сечений, выразятся такими же формулами, как и в случае круглого стержня: Вставляя это в формулы для деформации получаем

Подставляя вместо найденные выше значения (78) и выполняя интегрирование, находим

Вид искривленной поверхности первоначально плоского поперечного сечения представлен в горизонталях на рис. 63.