Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба балокВыражение для прогиба балки всегда можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Представление это, как мы увидим дальше, имеет особое преимущество при исследовании деформаций балок, подвергающихся одновременному действию продольных и поперечных сил, и балок, имеющих некоторое первоначальное искривление. В этих случаях пользование тригонометрическими рядами приводит нас к нескольким простым формулам, весьма удобным для практических приложений. Возьмем балку с опертыми концами (рис. 16). В этом случае при
Рис. 16. Оно, очевидно, удовлетворяет поставленным выше условиям на концах и при надлежащем выборе коэффициентов
Найдем величины коэффициентов для случая изгиба балки сосредоточенной силой (см. рис. 16). Коэффициенты эти, определяющие форму кривой изгиба, являются координатами нашей системы. Если мы одной из этих координат, например
Прогибы балки получат приращение
Работа внешних сил (силы
откуда
Вставляя полученный результат в выражение (а) для изогнутой оси, получаем
Располагая, например, силу
Ряд — быстро сходящийся, и если бы мы ограничились только первым членом, то получили бы величину для прогиба с погрешностью около 1,5%. Если мы будем беспредельно уменьшать расстояние
Пользуясь принципом сложения действия сил, мы из (62) можем получить выражение для прогиба при любой системе поперечных нагрузок. Чтобы получить, например, уравнение изогнутой оси при равномерной нагрузке интенсивности
Без особых затруднений мы можем распространить наши выводы на тот случай, когда кроме поперечных нагрузок имеется еще продольная сжимающая или растягивающая сила
Если мы теперь, пользуясь началом возможных перемещений, дадим координате
и уравнение равновесия напишется так:
откуда
Здесь для сокращения письма введено обозначение Определив таким образом значение коэффициентов, получаем выражение для прогиба при действии силы
Отсюда, путем сложения действия сил, легко получить выражение для прогиба при любой поперечной нагрузке. Например, для равномерной нагрузки получаем
Прогиб посередине для этого случая представляется так:
Все предыдущие рассуждения относятся к случаю продольной ежимающей силы. Если вместо сжатия у нас будет растяжение, то нужные нам выражения для прогибов мы получим из предыдущих, если в них везде поставим вместо Во всех случаях величина наибольшего прогиба будет представляться суммой бесконечного быстро сходящегося ряда. Этим обстоятельством мы воспользуемся и составим приближенные формулы для оценки влияния продольной силы на величину прогиба и на величину максимального изгибающего момента. Если обозначить прогиб посередине, вызываемый только поперечной нагрузкой, через
Точность этой формулы зависит как от величины момента. Для равномерной нагрузки эта величина найдется так:
Сравнение этого результата с точной формулой (37) показывает, что даже при больших значениях продольной силы приближенная формула дает весьма точные результаты. В случае растягивающей продольной силы для вычисления наибольшего прогиба можем воспользоваться формулой
Точность этой формулы также убывает вместе с возрастанием
Заметим, что здесь искомый момент получается как разность между изгибающим моментом от равномерной нагрузки и моментом от продольной силы. С убыванием этой разности точность приближенной формулы падает. При Погрешность этой новой формулы при Установив приближенные формулы для балки с опертыми концами, перейдем к случаю абсолютно заделанных концов. Имея выражение для изогнутой оси балки при действии моментов, приложенных по концам, мы путем сложения действия сил могли бы получить величину прогиба балки с заделанными концами в форме тригонометрического ряда, но для получения приближенной формулы для прогиба мы можем воспользоваться иным приемом. Зададимся подходящей формулой кривой, удовлетворяющей условиям на концах, другими словами, обратим нашу систему (упругий стержень), имеющую бесконечное число степеней свободы, в систему с конечным числом степеней свободы и потом найдем прогиб, применяя начало возможных перемещений. Опыт показывает, что при этом самые грубые предположения относительно формы кривой дают вполне удовлетворительные результаты при определении прогиба. Возьмем, например, для балки с заделанными концами такое уравнение изогнутой оси:
Оно, очевидно, удовлетворяет условиям закрепления, так как энергии будет
Найдем величину а для случая равномерной нагрузки. При этом начало возможных перемещений дает нам уравнение
и мы будем иметь
Прогиб посередине балки будет Если кроме поперечной нагрузки имеется еще продольная сжимающая сила то при составлении уравнения нужно принять в расчет работу и этой силы. Сближение концов балки, соответствующее изгибу по кривой (b), будет
и уравнение равновесия напишется так:
откуда
Для получения соответствующей формулы при растягивающей силе нужно только изменить знак перед
Из нее видно, что при заделанных концах влияние продольной силы значительно меньше, чем при свободно поворачивающихся концах. Что касается точности приближенной формулы (70), то при равномерной нагрузке она весьма велика для малых значений
|
1 |
Оглавление
|