§ 25. Продольный изгиб стержней под действием сил, распределенных по длине

Рассмотрим сначала непрерывное распределение сил вдоль оси стержня и в качестве простейшего примера возьмем продольный изгиб призматического стержня под действием собственного веса. Нижний конец стержня предполагаем заделанным, верхний — свободным (рис. 52).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси напишется так;

В данном случае изгибающий момент представится интегралом Чтобы освободиться от этого интеграла, дифференцируем наше уравнение (а) по х, тогда получаем

Рис. 52.

Введем теперь вместо х новую независимую переменную z, положив

Тогда, обозначая через последовательные производные от у по новой переменной, получаем

Вставляя это в уравнение (b), приходим к такому уравнению:

или, полагая получаем

Будем искать интеграл этого уравнения 1 в виде бесконечного ряда

Вставляя этот ряд в уравнение (113), убеждаемся, что между показателями должна быть такая зависимость:

Связь между последовательными коэффициентами напишется так: Показатель определяется из уравнения откуда

Соответственно этим двум решениям для общий интеграл уравнения представится в виде двух бесконечных рядов, расположенных по возрастающим

степеням z, и мы будем иметь

Подберем теперь произвольные постоянные так, чтобы были удовлетворены условия закрепления. При выбранном расположении координат мы имеем у нижнего, заделанного, конца следовательно, см. формулу (с)] . У верхнего конца имеем следовательно,

Рассмотрим последнее условие При малых значениях z мы можем в общем решении (d) ограничиться лишь первыми членами рядов и положить

Вставляя это в условие (е), заключаем, что Следовательно,

На нижнем конце, т. е. при

производная как мы видели, должна обращаться в нуль. На основании этого получаем уравнение

При помощи готовых таблиц для функции, которая представляет величину легко находится наименьший корень полученного уравнения:

Для критического значения собственного веса получаем:

Для решения рассмотренной задачи с успехом можно применить приближенный метод решения вопросов устойчивости и найти критическое значение собственного веса на основании рассмотрения энергии системы 1. Мы используем этот метод для приближенной оценки влияния собственного веса на величину критической нагрузки (рис. 53).

Очевидно, вследствие действия собственного веса величина критической нагрузки для случая, представленного на рис. 53, будет меньше той, что нам дает формула (105), полученная для невесомого стержня.

Рис. 53.

Рис. 54.

Рис. 55.

Допустим, что под действием силы и собственного веса стержень изогнулся по кривой которая удовлетворяет условиям на концах. Потенциальная энергия изгиба будет

Работа внешних сил составится в этом случае из работы груза и из работы собственного веса. Выражение для работы будет такое:

Из уравнения находим

т. е. действие собственного веса можно приравнять действию приложенной к верхнему концу сосредоточенной силы, равной

Кроме рассмотренного случая продольного изгиба призматического стержня под действием собственного веса к уравнению типа (113) приводится целый ряд других задач устойчивости. Оказывается, что всякий раз, когда жесткость стержня изменяется вдоль оси (рис. 54) по закону и интенсивность собственного веса — по закону мы можем привести дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня к типу (113), путем введения новой переменной 2, положив

Таблица 6 (см. скан)

Введя обозначение представим решение этого уравнения в таком виде:

где функции Бесселя порядка Общий вид для этих функций такой.

Из условий закрепления получаем уравнение для определения критического значения нагрузки. Если для критической нагрузки ввести обозначение то общая формула для всех случаев будет такая: Значения коэффициента для различных тип приводим в табл. 6.

Когда стержень искривляется под действием сосредоточенных сил, приложенных в промежуточных сечениях (рис. 55), то для определения критического значения сил приходится составлять дифференциальное уравнение равновесия для каждого участка между двумя последовательными сосредоточенными силами.

Таблица 7 (см. скан)

Уравнение для определения критической нагрузки найдется из условий на концах и из условий на границах участков. Если имеется лишь два участка одинаковой длины, но разных поперечных сечений, то величина критической нагрузки определяется формулой Значения

коэффициента зависят от отношений Несколько значений приведены в табл. 7.

Заметим, что применяя второй метод решения задач устойчивости, мы легко получаем приближенные формулы, точность которых вполне достаточна для практических приложений. Так, например, для двух участков (рис. 55) при значениях у, близких к единице, можно с достаточной для практики точностью положить