2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
Попробуем теперь обобщить выведенное в п. 1 неравенство. Для положительных чисел 
средним арифметическим называют
а средним геометрическим —
В п. 1 мы доказали, что при 
выполняется неравенство
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
Это неравенство верно для всех натуральных значений 
Мы ограничимся доказательством этого неравенства при 
В математике часто, прежде чем доказывать гипотезу в общем виде, пытаются доказать какой-нибудь частный случай сделанного предположения. Если оказывается, что частный случай неверен, то тем более неверна и гипотеза в общем виде; если же удается доказать гипотезу в частном случае, то возрастают шансы на то, что и в общем случае предположение верно.
Итак, попытаемся доказать, что при 
Так как по условию 
то мы можем положить 
, где 
. Неравенство (2) принимает вид:
или
Чтобы доказать неравенство (3), используем разложение на множители
(Формулу (5) можно проверить непосредственно, перемножив многочлены в правой части равенства.)
Так как по условию 
, то все свелось к доказательству неравенства
а оно справедливо, так как
тем самым соотношение (4), а с ним и (2) доказано. Это, как мы говорили, повышает шансы на то, что неравенство (1) справедливо при всех 
Заметим, что 
тогда и только тогда, когда 
Поэтому в соотношении (2) знак равенства имеет место лишь при 
