УРАВНЕНИЕ ЛУЧИСТОГО РАВНОВЕСИЯ И ЕГО ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Будем понимать под коэффициентом поглощения сумму коэффици ентов чистого рассеяния и истинного поглощения . Если плотность материи обозначить через , а отрезок пути в каком-либо направлении — через , то изменение интенсивности на этом отрезке подчиняется уравнению

которое называется уравнением (лучистого) переноса. В нем первый член справа выражает излучение рассматриваемого элемента объема материи, а второй — поглощение в нем. Решение уравнения переноса в общем виде достаточно сложно. Его нередко проводят, применяя гипотезу местного термодинамического равновесия: с помощью (2.1) уравнение (2.2) перепишется так:

В этой формуле выражает значение относительного поглощения на протяжении отрезка , выражающего элемент геометрического пути светового луча.

Но тогда произведение можно назвать элементом оптического пути светового луча, а если он берется вдоль радиуса Солнца (или, проще, вдоль радиуса кривизны сферических слоев спокойно-расслоенного Солнца), то его можно назвать элементом оптической глубины

где h — геометрическая глубина. Сама оптическая глубина определяется равенством

внешняя граница

Кривизна слоев равной плотности и температуры во внешних областях Солнца очень мала, толщина доступных наблюдению внешних слоев Солнца много меньше радиуса Солнца и потому их можно считать плоскопараллельными. Тогда, как видно из рис. 6,

и уравнение переноса принимает вид

где — интенсивность излучения в направлении к нормали плоскопараллельных слоев.

Уравнение (2.7) рассматривается и решается в теоретической астрофизике в применении к разным конкретным задачам, из которых наиболее важной представляется лучистый перенос в тех внешних слоях Солнца (или звезды), откуда к ним приходит основное излучение; эти слои составляют солнечную (звездную) фотосферу.

Для фотосферы характерно то, что плотность вещества в ней значительна и количество атомов даже на небольшом отрезке пути достаточно велико, чтобы непрерывное поглощение было значительным. В более высоких слоях солнечной атмосферы оптическая глубина, определяемая интегралом (2.5), оказывается очень небольшой, если рассматривается излучение непрерывного спектра Солнца, так как коэффициент непрерывного поглощения в выражении (2.4) умножается на плотность , которая мала. Зато оптическая глубина становится более или менее заметной и даже большой для излучения в тех узких интервалах частоты, где в спектре видны спектральные линии, потому что коэффициент поглощения в спектральной линии гораздо больше, чем в соседнем участке непрерывного спектра.

Условно считают, что среда имеет большую оптическую толщину, когда последняя превышает единицу, ибо в этом случае от ее задней границы доходит до нас меньше, чем часть излучения.

Действительно, если в уравнении (2.7) положить , то среда не излучает, а лишь пропускает проходящее излучение.

Решая оставшееся уравнение и учитывая, что убывает вверх, получим, что от излучения на глубине на поверхность выйдет

(ср. закон Бугера, КПА 293). Но при прохождении потока излучении сквозь атмосферу Солнца (звезды) в каждом участке пути к ослабленному излучению, идущему из более глубоких слоев, присоединяется излучение этого участка, которое в свою очередь ослабится в дальнейшем. Рис. 7 поясняет это.

Рис. 6. Плоскорасслоенная атмосфера.

Рис. 7. К переносу излучения

Находящийся на оптической глубине элементарный объем единичного сечения и высоты содержит количество материи и излучает в единицу времени в пределах бесконечно малого угла и интервала частот количество энергии

но на уровень из всего этого дойдет только

так как мы рассматриваем излучение, идущее под углом 8 к нормали. С помощью (2.1), (2.4) и (2.6) выражение (2.9) можно переписать как

Полное излучение на уровне получится как сумма излучений, идущих из всех от до что выражается интегралом

Интенсивность излучения, выходящего из точки А на уровне в направлении , получится, если выражение (2.11) разделить на (т. е. отнести к единице телесного угла и единице частоты):

Таким образом, интенсивность выходящего из поверхности Солнца излучения под углом к нормали есть

и вычисление этого интеграла не составило бы труда, если бы распределение температуры, определяющей функцию Планка было известно в зависимости от оптической глубины или, через равенство (2.5), от геометрической глубины, что требует точного знания коэффициента поглощения солнечного вещества в функции от глубины.

Часто уравнение (2.13) рассматривают как уравнение относительно поскольку распределение яркости по диску Солнца как раз дает нам величину (рис. 8). Найденное значение , т. е. зависимость функции от оптической глубины , даст нам возможность установить распределение температуры геометрической глубиной , при условии, что коэффициент известен, так как это позволяет найти зависимость Наконец, после того как зависимость найдена, можно на основе представления о гидростатическом равновесии [см. (4.1)] установить изменение давления с глубиной, что вместе с температурой позволит найти плотность вещества в функции от . Все вместе взятое определит модель солнечной атмосферы, в которой главным параметром служит коэффициент , зависящий в основном от химического состава.

Одно важное обстоятельство может быть выяснено без вычислений, а именно закон потемнения к краю диска. Разделим (2.13) на тождество

Получим

Рис. 8. К распределению яркости по диску Солнца. Все точки диска Солнца (внизу), видимые с Земли на расстоянии r от центра диска, посылают на Землю излучение под углом к нормали:

Это выражение показывает, что можно рассматривать как среднее весовое из всех величин , т. е. излучения, приходящего из разных глубин. Когда , как бы мало ни было, , а следовательно, идущее к нам излучение края солнечного диска исходит из самых внешних, поверхностных слоев фотосферы Солнца и должно равняться излучению абсолютно черного тела при температуре , где — внешняя температура фотосферы:

В то же время излучение, исходящее из центра диска, где приходит к нам в основном из сравнительно глубоких фотосферных слоев , как это будет видно из формулы (2.17). Если бы температура Солнца не зависела от глубины, то и в центре диска и, следовательно, никакого потемнения к краю диска не было бы.

Наличие потемнения к краю диска доказывает возрастание температуры Солнца с глубиной. Несложные вычисления показывают, что в общем излучении (болометрическом) закон потемнения к краю диска у Солнца должен иметь вид

    (2.16)

где u — коэффициент потемнения к краю. Его теоретическое значение близко к 3/6, что соответствует наблюденному . В отдельных частотах и имеет иные значения; как мы видели выше, и меняется от весьма малого значения в далекой инфракрасной области спектра до большого в ультрафиолетовой. Но ни при каких частотах и не достигает единицы, т. е. Солнце не имеет полного потемнения к краю. Между тем если бы в атмосфере Солнца вместо лучистого господствовало конвективное равновесие, потемнение к краю Солнца должно было бы быть полным.