Но тогда произведение
можно назвать элементом оптического пути светового луча, а если он берется вдоль радиуса Солнца (или, проще, вдоль радиуса кривизны сферических слоев спокойно-расслоенного Солнца), то его можно назвать элементом оптической глубины
где h — геометрическая глубина. Сама оптическая глубина определяется равенством
внешняя граница
Кривизна слоев равной плотности и температуры во внешних областях Солнца очень мала, толщина доступных наблюдению внешних слоев Солнца много меньше радиуса Солнца и потому их можно считать плоскопараллельными. Тогда, как видно из рис. 6,
и уравнение переноса принимает вид
где
— интенсивность излучения в направлении
к нормали плоскопараллельных слоев.
Уравнение (2.7) рассматривается и решается в теоретической астрофизике в применении к разным конкретным задачам, из которых наиболее важной представляется лучистый перенос в тех внешних слоях Солнца (или звезды), откуда к ним приходит основное излучение; эти слои составляют солнечную (звездную) фотосферу.
Для фотосферы характерно то, что плотность вещества в ней значительна и количество атомов даже на небольшом отрезке пути достаточно велико, чтобы непрерывное поглощение было значительным. В более высоких слоях солнечной атмосферы оптическая глубина, определяемая интегралом (2.5), оказывается очень небольшой, если рассматривается излучение непрерывного спектра Солнца, так как коэффициент непрерывного поглощения в выражении (2.4) умножается на плотность
, которая мала. Зато оптическая глубина становится более или менее заметной и даже большой для излучения в тех узких интервалах частоты, где в спектре видны спектральные линии, потому что коэффициент поглощения в спектральной линии гораздо больше, чем в соседнем участке непрерывного спектра.
Условно считают, что среда имеет большую оптическую толщину, когда последняя превышает единицу, ибо в этом случае от ее задней границы доходит до нас меньше, чем
часть излучения.
Действительно, если в уравнении (2.7) положить
, то среда не излучает, а лишь пропускает проходящее излучение.
Решая оставшееся уравнение
и учитывая, что
убывает вверх, получим, что от излучения
на глубине
на поверхность выйдет
(ср. закон Бугера, КПА 293). Но при прохождении потока излучении сквозь атмосферу Солнца (звезды) в каждом участке пути к ослабленному излучению, идущему из более глубоких слоев, присоединяется излучение этого участка, которое в свою очередь ослабится в дальнейшем. Рис. 7 поясняет это.
Рис. 6. Плоскорасслоенная атмосфера.
Рис. 7. К переносу излучения
Находящийся на оптической глубине
элементарный объем
единичного сечения и высоты
содержит количество материи
и излучает в единицу времени в пределах бесконечно малого угла
и интервала частот
количество энергии
но на уровень
из всего этого дойдет только
так как мы рассматриваем излучение, идущее под углом 8 к нормали. С помощью (2.1), (2.4) и (2.6) выражение (2.9) можно переписать как
Полное излучение на уровне
получится как сумма излучений, идущих из всех
от
до
что выражается интегралом
Интенсивность излучения, выходящего из точки А на уровне
в направлении
, получится, если выражение (2.11) разделить на
(т. е. отнести к единице телесного угла и единице частоты):
Таким образом, интенсивность выходящего из поверхности Солнца излучения под углом
к нормали есть
и вычисление этого интеграла не составило бы труда, если бы распределение температуры, определяющей функцию Планка
было известно в зависимости от оптической глубины или, через равенство (2.5), от геометрической глубины, что требует точного знания коэффициента поглощения солнечного вещества в функции от глубины.
Часто уравнение (2.13) рассматривают как уравнение относительно
поскольку распределение яркости по диску Солнца как раз дает нам величину
(рис. 8). Найденное значение
, т. е. зависимость функции
от оптической глубины
, даст нам возможность установить распределение температуры
геометрической глубиной
, при условии, что коэффициент
известен, так как это позволяет найти зависимость
Наконец, после того как зависимость
найдена, можно на основе представления о гидростатическом равновесии [см. (4.1)] установить изменение давления с глубиной, что вместе с температурой позволит найти плотность вещества в функции от
. Все вместе взятое определит модель солнечной атмосферы, в которой главным параметром служит коэффициент
, зависящий в основном от химического состава.
Одно важное обстоятельство может быть выяснено без вычислений, а именно закон потемнения к краю диска. Разделим (2.13) на тождество
Получим
Рис. 8. К распределению яркости по диску Солнца. Все точки диска Солнца (внизу), видимые с Земли на расстоянии r от центра диска, посылают на Землю излучение под углом
к нормали:
Это выражение показывает, что
можно рассматривать как среднее весовое из всех величин
, т. е. излучения, приходящего из разных глубин. Когда
, как бы мало
ни было,
, а следовательно, идущее к нам излучение края солнечного диска исходит из самых внешних, поверхностных слоев фотосферы Солнца и должно равняться излучению абсолютно черного тела при температуре
, где
— внешняя температура фотосферы:
В то же время излучение, исходящее из центра диска, где
приходит к нам в основном из сравнительно глубоких фотосферных слоев
, как это будет видно из формулы (2.17). Если бы температура Солнца не зависела от глубины, то и в центре диска
и, следовательно, никакого потемнения к краю диска не было бы.
Наличие потемнения к краю диска доказывает возрастание температуры Солнца с глубиной. Несложные вычисления показывают, что в общем излучении (болометрическом) закон потемнения к краю диска у Солнца должен иметь вид
(2.16)
где u — коэффициент потемнения к краю. Его теоретическое значение близко к 3/6, что соответствует наблюденному
. В отдельных частотах и имеет иные значения; как мы видели выше, и меняется от весьма малого значения в далекой инфракрасной области спектра до большого в ультрафиолетовой. Но ни при каких частотах и не достигает единицы, т. е. Солнце не имеет полного потемнения к краю. Между тем если бы в атмосфере Солнца вместо лучистого господствовало конвективное равновесие, потемнение к краю Солнца должно было бы быть полным.