§ 5. МАССА И ЭНЕРГИЯ

Так как масса электронов незначительна, то определение масс ядер сводится к определению масс атомов. Как известно из курса атомной физики, массы атомов определяются главным образом

масс-спектроскопическими методами [5-6]. Можно определять массу ядер также и по ядерным реакциям; ниже будет рассмотрена эта возможность.

Теперь же разберем вопрос о том, как зависит полная энергия ядра от числа содержащихся в нем нуклонов. Другими словами, получим формулу, описывающую зависимость от представленную на рис. 7.

Ранее уже говорилось, что из эксперимента вытекают два важных вывода относительно свойств ядерной материи:

1) плотность ядерного вещества постоянна что означает его несжимаемость;

2) средняя энергия отделения одной частицы почти постоянна

Оба эти свойства присущи жидкости: жидкость почти несжимаема, ее плотность постоянна. С другой стороны, энергия отделения для жидкости соответствует теплоте испарения, которая с большой точностью тоже почти постоянна.

Это дало возможность Н. Бору и Я. И. Френкелю разработать независимо капельную модель ядра, согласно которой атомное ядро представляет собой электрически заряженную каплю несжимаемой ядерной жидкости. Капельная модель ядра позволила объяснить деление ядер, а также общие закономерности в поведении энергии связи как функции

В дальнейшем будут описаны и другие модели, которые тоже правильно отображают те или иные свойства ядер. Современный математический аппарат не позволяет дать сколько-нибудь простое и полное квантовомеханическое описание системы, состоящей из протонов и нейтронов, связанных специфическими ядерными силами. Поэтому, для того чтобы теоретически объяснить различные свойства ядер, приходится строить модели; их можно считать некоторым грубым приближением к реальному ядру, физику которого нельзя уместить в рамки классических аналогий. Любая классическая модель хорошо описывает лишь часть известных свойств ядер.

Энергия ядра в капельной модели определяется полуэмпирической формулой Вайцзеккера. Поясним ее происхождение используя аналогию с жидкостью и рассматривая ядро как двухкомпонентный раствор протонов и нейтронов.

Ранее было показано, что энергия ядра меньше суммы энергии покоя входящих в него протонов и нейтронов на величину энергии связи Дкоторая выделилась при образовании ядра (17).

Найдем зависимость от массового числа А и атомного номера

а) Если а — средняя энергия связи одной частицы внутри ядра, обусловленная только ядерными силами, то в первом приближении (согласно свойству 2) полная энергия связи окажется равной а А

б) Однако, это верно только в предположении, что все нуклоны ядра равноценны, на самом же деле в капле поверхностные частицы притягиваются остальными только с одной (внутренней) стороны и их легче удалить из ядра. В связи с этим энергия связи будет меньше а на величину, пропорциональную поверхности капли Обозначим эту поверхностную энергию Считая, что ядро-капля имеет форму шара, а поверхностная энергия, отнесенная к равна а (и численно равна поверхностному натяжению ядерной жидкости), получим

поскольку находим, что

Величина а была определена экспериментально по энергии отрыва частицы с поверхности ядра и оказалась равной (для сравнения отметим, что у воды Таким образом, из-за энергии поверхностного натяжения величина энергии связи должна быть уменьшена:

в) Необходимо учесть также электростатическую энергию, которая благодаря кулоновскому отталкиванию протонов тоже уменьшает общую энергию связи. При малом числе протонов в легких ядрах она незначительна, но становится очень существенной для тяжелых ядер.

Причина этого состоит в том, что кулоновские силы обладают значительно большим радиусом действия, чем ядерные силы, и каждый протон взаимодействует со всеми остальными протонами внутри ядра. Следовательно, полная энергия обусловленная кулоновским расталкиванием протонов, пропорциональна и обратно пропорциональна радиусу ядра

Обозначим коэффициент пропорциональности у. Тогда

Значение у можно определить, подсчитав среднюю энергию электростатического отталкивания протонов ядра. Подсчет, проведенный в предположении равномерного распределения зарядов внутри сферы радиуса дает [7]

откуда по известному может быть найден коэффициент у:

Так как кулоновская энергия уменьшает энергию связи, то

г) Наконец, необходимо учесть наблюдаемый экспериментально факт наибольшей устойчивости легких ядер при равенстве числа протонов числу нейтронов при заданном А). Он связан с насыщающим характером ядерных сил. Поэтому в формулу надо ввести добавочный член, зависящий от разности но симметричный относительно т. е. зависящий квадратично от разности Этому наилучшим образом удовлетворяет выражение которое имеет минимум при (дифференцируя его по при и приравнивая нулю первую производную, получаем

Тот факт, что тяжелые ядра наиболее устойчивы при как уже говорилось, связан с кулоновским отталкиванием протонов. Он учитывается членом поэтому и для тяжелых ядер надо вводить в формулу то же выражение области больших минимум суммы двух членов будет достигаться при

Учет всех перечисленных выше факторов приводит к выражению для

Последний член формулы (20) называется изотопическим и не может быть объяснен с помощью капельной модели.

Для того чтобы формула правильно передавала значения масс всех ядер, в нее надо добавить еще один член —

Он называется спиновым членом и отражает тот факт, что ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов. Спин — сугубо квантовая характеристика ядра и естественно, что из капельной модели объяснить происхождение спинового члена невозможно. Значение равно:

(см. скан)

Такой вид члена отражает тот факт, что наиболее устойчивыми являются ядра четно-четные, а наименее устойчивыми нечетно-нечетные. Промежуточные значения энергии связи

имеют ядра с нечетным Это следует из опытного определения масс.

Окончательно, энергия связи описывается выражением

Из опыта были определены следующие значения для коэффициентов:

Пользуясь формулой (21), впервые полученной Вайцзеккером, можно вычислять массы всех ядер и их полную энергию:

Вычисленные значения для масс хорошо совпадают с экспериментальными результатами, например:

Из этого можно заключить, что капельная модель с поправками на обменный характер ядерных сил более или менее правильно описывает ядро, хотя, конечно, ядро не тождественно капле. Это видно и из того, что ряд характеристик ядра противоречит капельной модели.

Формула Вайцзеккера позволяет объяснить общий вид зависимости от (рис. 7). Объем ядра тогда как поверхность ядра Если уменьшать размеры ядер, уменьшая число нуклонов в ядре, то объем ядра будет стремиться к нулю быстрее его поверхности и, следовательно, роль поверхностных эффектов будет возрастать с уменьшением ядра. У очень легких ядер практически все нуклоны находятся на поверхности, а это значит, что ядерные силы не могут проявить себя полностью, и система становится менее устойчивой. Этим объясняется спад кривой слева.

С увеличением размера ядра, т. е. по мере перехода в область больших (а следовательно, и больших растет число протонов. Энергия кулоновекого расталкивания пропорциональна а ядерные силы пропорциональны только первой степени поэтому роль электростатической энергии растет и энергия связи уменьшается. При некотором значении из-за расталкивания протонов

стабильные ядра уже не могут существовать. Таким образом, спад кривой справа объясняется ростом сил электростатического отталкивания.