§ 13.10. Мартингалы

Понятие мартингала является абстрактной формализацией представления о последовательности справедливых игр. Это понятие и связанные с ним понятия супермартингала и субмартингала приобретают все большее значение во многих вопросах теории вероятностей и играют весьма важную роль при изучении оптимальных правил остановки для чрезвычайно широкого класса задач.

В этом и ряде следующих параграфов мы дадим точные определения этих понятий и исследуем свойства правил остановки в случае, когда последовательность возможных выигрышей статистика образует мартингал, субмартингал или супермартингал.

Мы используем далее некоторые из этих свойств при изучении правил остановки для более общих задач.

Пусть — последовательность наблюдений с заданным совместным распределением. Вообще говоря, эти наблюдения могут быть зависимыми и неодинаково распределенными. Также как и в § 12.2, обозначим через выборочное пространство первых наблюдений и через — значение совместной ф. р. для в точке Как указывалось в § 12.2, всякое подмножество может и будет рассматриваться также как подмножество в при каждом натуральном

Для пусть — некоторая случайная величина, зависящая от первых наблюдений Как и раньше, предположим, что если статистик заканчивает выбор после наблюдения значении то его выигрыш равен

Говорят, что последовательность образует мартингал относительно последовательности если при каждом существует среднее и с вероятностью 1

Ясно, что понятие «мартингал» действительно является разумной формализацией представления о последовательности справедливых игр, так как, согласно (1), на каждом шаге последовательного процесса выбора средний выигрыш (или капитал) статистика после проведения очередного наблюдения равен его выигрышу (капиталу) в данный момент.

Последовательность случайных величин называется мартингалом (безотносительно к какой-либо другой последовательности если при всяком существует и с вероятностью 1

Вот два важных примера мартингалов.

ПРИМЕР 1. Пусть последовательность независимых случайных величин, для которых при Тогда последовательность является мартингалом относительно последовательности

ПРИМЕР 2. Предположим, что последовательность независимых случайных величин с

и при Тогда последовательность мартингал относительно последовательности

Дадим теперь определения понятий субмартингала и супермартингала. Говорят, что последовательность является мартингалом относительно последовательности если при всяком существует и с вероятностью 1

Последовательность называется супермартингалом относительно последовательности если для всякого существует и с вероятностью 1

Ясно, что понятие субмартингала отвечает представлению о последовательности игр, выгодных для статистика. В самом деле, согласно (3), на каждом шаге последовательного процесса выбора средний выигрыш после очередного наблюдения не меньше его выигрыша в настоящей момент. Аналогично супермартингал является моделью для последовательности игр, которые либо справедливы, либо невыгодны для статистика. В нашем контексте не очень удачно то обстоятельство, что невыгодным играм отвечает понятие «супермартингал», а выгодным — «субмартингал». В ранних публикациях субмартингалы называли полумартингалами, а супермартингалы — нижними полумартингалами. Следует отметить, что мартингал является как субмартингалом, так и супермартингалом.

Для упрощения обозначений при рассмотрении мартингалов положим во всех встречающихся далее интегралах при Далее, аргумент -мерной всегда есть точка и во всех интегралах мы будем писать просто вместо

В следующей теореме устанавливается основное свойство мартингалов, субмартингалов и супермартингалов, которое часто будет использоваться в дальнейшем.

Теорема 1. Пусть последовательность образует супермартингал, субмартингал или мартингал относительно последовательности и пусть натуральные числа, произвольное подмножество в Если последовательность супермартингал, то

Если эта последовательность — субмартингал, то в (5) имеет место обратное неравенство. Если последовательность образует мартингал, то (5) превращается в равенство.

Доказательство. Установим справедливость неравенства (5) для супермартингалов. Доказательство других утверждений теоремы вполне аналогично.

Предположим сначала, что и пусть выборочное пространство случайной величины Тогда

В первом интеграле из (6) подмножество рассматривается как подмножество , а во втором — как подмножество Выражение во втором интеграле обозначает условную ф. р. случайной величины при Последнее неравенство в (6) является следствием определения супермартингала.

Так как множество можно рассматривать как подмножество в при всех натуральных то из предыдущего ясно, что

Соотношения (6) и (7) в совокупности дают соотношение (5).

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Изучение мартингалов начали Леви (1937) и Вий (1939). Сам термин впервые применил Вий. Общая теория мартингалов была развита Дубом (1953); из этой его монографии заимствовано большинство результатов последующих трех параграфов. Изложение теории мартингалов на современном уровне имеется у Лоэва (1963), Неве (1965) и Мейера (1966).