§ 5.3. Распределение Дирихле

Мы введем распределение Дирихле способом, несколько отличным от того, который мы применяли до сих пор. Причина этого будет указана ниже, после формулы (1).

Случайный вектор имеет распределение Дирихле с параметрическим вектором (или вектором параметров) если п. р. в. вектора X удовлетворяет следующим условиям. Пусть точка из для которой Тогда

Для всех остальных точек

Соотношение (1) требует некоторых разъяснений. Функция положительна только на -мерном симплексе

точек таких, что при Поэтому

Из этого линейного соотношения следует, что к случайных величин не могут иметь совместную -мерную п. р. в. Поэтому несмотря на свой внешний вид, не является -мерной п. р. в. На самом деле она задает совместную п. р. в. совокупности из случайных величин после того, как одна из них, скажем исключена с помощью равенства Эта совместная -мерная п. р. в. получится, если заменить переменную в правой части (1) ее выражением, найденным из соотношения Получающаяся п. р. в. положительна в тех точках где каждая из координат положительна и их сумма меньше 1.

Сравнение формулы (1) с формулой (1) из § 4.9 для п. р. в. бета-распределения показывает, почему распределение Дирихле иногда называют многомерным бета-распределением. В самом деле, если случайная величина X имеет бета-распределение с параметрами то случайный вектор распределен по закону Дирихле с вектором параметров Далее, если случайный вектор имеет распределение Дирихле с вектором параметров то маргинальное распределение каждой из компонент X, скажем является бета-распределением с параметрами

Более общий результат состоит в следующем. Пусть имеет распределение Дирихле, а множество индексов 1 разбито на непересекающихся непустых групп Положим

Тогда -мерный случайный вектор имеет распределение Дирихле с параметрическим вектором где

Если случайный вектор имеет распределение Дирихле с параметрическим вектором то моменты вида где неотрицательные целые числа, можно найти следующим образом. Пусть множество определено формулой

Интеграл но множеству S от п. р. в. (1) должен равняться единице. Поэтому если какие-нибудь положительные числа и то

Отсюда следует, что

Пусть Тогда из (5) следует, что при

Эти факты вытекают также из известных свойств бета-распределения. Далее, при

Дальнейшее обсуждение этих и других интересных свойств распределения Дирихле имеется в книге Уилкса (1967).