§ 11.9. Проверка гипотезы о том, превосходит или нет среднее нормального распределения заданное значение

Мы применим теперь результаты § 11.8 к задаче решения вопроса о том, будет ли среднее нормального распределения с известной мерой точности меньше или больше заданной величины Как обычно, пусть обозначает п. р. в. стандартного нормального распределения (т. е. нормального распределения с нулевым средним и мерой точности 1), и пусть стандартного нормального распределения.

Если то преобразование определяемое равенством (9) § 11.8, будет обозначаться просто через Таким образом, при

Функция строго убывает и строго выпукла на вещественной оси и обладает общими свойствами функций вида [см. (10) § 11.8]. Производная V функции как видно из (1), при равна

Далее, можно показать (см. упр. 22), что если нормального распределения со средним и мерой точности то

Допустим теперь, что в рассматриваемой нами задаче статистического решения с функцией потерь (1) § 11.8 статистик может наблюдать значения повторной выборки из нормального распределения со средним и заданной мерой точности Предположим также, что априорное распределение нормальное со средним и мерой точности Тогда из теоремы 1 § 9.5 следует, что среднее апостериорного распределения имеет вид

Поскольку условное распределение X при - нормальное со средним и мерой точности (см. упр. 23), то маргинальное распределение X является нормальным со средним мерой точности Следовательно, случайная величина определенная посредством (4), имеет нормальное распределение со средним и мерой точности Поэтому из равенств (8) и (9) § 11.8 и равенства (3) вытекает, что байесовский риск при заданном априорном нормальном

распределении параметра равен

где

Предположим теперь, что цена одного наблюдения равна и число наблюдений нужно выбрать так, чтобы минимизировать общий риск Для удобства расчета не будем обращать внимания на то, что должно быть целым числом. Из соотношений (1), (2) и (5) следует, что производная от общего риска по равна

В силу (6)

Отсюда ясно, что уравнение можно переписать в виде

Для небольших значений цены с оптимальное число наблюдений велико. Из (6) видно, что при Поэтому при малых с оптимальный объем можно приближенно рассчитать по формуле

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Подробное обсуждение рассмотренной нами и сходных с нею задач можно найти у Райффы и Шляйфера (1961), гл. 5, и Шляйфера (1961), гл. 20 и 21. Они приводят таблицу значений функции и графики для определения оптимального объема выборки и байесовского риска. Первоначальное исследование этой задачи было проведено Гранди, Хили и Ризом (1956).

Брэкен и Шлейфер (1964) составили таблицы, п. р. в. -распределения и таблицы оптимального объема выборки и байесовского риска для задач статистического решения типа, рассмотренного в этом параграфе, с дополнительным усложнением, состоящим в том, что мера точности нормального распределения также неизвестна.

Теорию проверки гипотез можно обобщить так, чтобы охватить задачи, в которых пространство содержит любое конечное число решений (не обязательно равное двум). Задача статистических решений этого типа называется задачей со многими

ниями. Задача проверки гипотезы о том, что среднее нормального распределения меньше или больше заданного значения может быть обобщена на случай задачи с многими решениями следующим образом.

Пусть заданные значений . Допустим, что статистик должен решить, в каком из к интервалов лежит среднее значение Если ущерб от принятия каждого из этих к решений выбран; некоторым специальным образом, то эта задача попадает в класс задач с монотонными статистическими решениями, которые изучались Карлином и Рубином (1956а, b). Несколько более общие задачи изучались Карлином (1955b; 1957а, b; 1958а).

Свойства задач с многими решениями здесь обсуждаться не будут.