§ 3.5. Векторы и матрицы

Основные понятия теории линейных пространств и матриц будут употребляться весьма часто на протяжении всей книги. Читателю, не знакомому с этими понятиями в том объеме, в каком это изложено здесь ниже, было бы полезно просмотреть какой-нибудь вводный курс по теории матриц и линейной алгебре. Цель этого параграфа — лишь напомнить необходимые сведения, поэтому некоторые определения, например определения определителя или ранга матрицы, здесь не приводятся.

Всюду в дальнейшем мы будем считать, если явно не оговорено противное, что каждый вектор х записывается в виде столбца.

Таким образом, -мерный вектор х есть столбец из к вещественных чисел вида

Ясно, что каждый -мерный вектор можно рассматривать как точку пространства

Для удобства печати и чтения в некоторых задачах удобно рассматривать транспонированный вектор х. Таким образом, или Вообще, если А — некоторая матрица размера к

то транспонированная матрица А размера к имеет вид

Вектор 0 — это вектор, все компоненты которого равны нулю. Единичная матрица I размера к X к — это матрица, у которой к элементов, стоящих на главной диагонали, равны 1, а все остальные равны 0.

У квадратной матрицы число строк равно числу столбцов. Определитель квадратной матрицы А обозначается через

Квадратная матрица А называется невырожденной, если и вырожденной, если Ранг невырожденной к -матрицы равен ранг вырожденной -матрицы меньше, чем Если матрица А невырождена, то существует единственная обратная матрица А, такая, что

След произвольной матрицы А определяется как сумма диагональных элементов А. Вот основные свойства следа (упр. 4):

1. Если А — матрица размера матрица размера где любые натуральные числа, то

2. Если все матрицы квадратные одного и того же порядка, то

Квадратная матрица А называется симметрической, если Симметрическая -матрица А называется положительно определенной, если для всякого -мерного вектора х

Симметрическая положительно определенная матрица обязательно невырождена, и обратная к ней матрица также является симметрической положительно определенной.

Симметрическая к -матрица А называется неотрицательно определенной, если для всякого -мерного вектора х

В некоторых книгах неотрицательно определенные матрицы называют положительно полу определенными.

Если А — симметрическая неотрицательно определенная к -матрица, то существует к -матрица В, такая, что Если при этом А — положительно определенная матрица, то матрица В невырождена. Более того, тогда можно и матрицу В выбрать симметрической положительно определенной.

Случайные векторы. Случайный -мерный вектор X — это просто последовательность случайных величин Случайный вектор X принимает значения в и его распределение — это по определению совместное распределение составляющих его случайных величин Таким образом, случайного вектора X — это соответственно совместная и совместная о. в. п. случайных величин

Предположим, что есть о. в. случайного вектора Если то в векторных обозначениях интегралы (4) и (5) § 3.3 запишутся так:

Опять-таки функция вектора X называется интегрируемой, если

Определение независимости случайных векторов аналогично определению независимости случайных величин,

данному в § 3.4. Также как и в § 3.4, говорят, что -мерные случайные векторы образуют повторную выборку с -мерной о. в. п. , если векторы независимы и маргинальная о. в. п. каждого из них равна