2.3. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ

Распространение описанной процедуры на релятивистскую область осуществляется очень просто и совершенно строго. Хотя космические частицы и релятивистские, на электрон воздействуют нерелятивистские силы. Определим, как выглядит поле, создаваемое релятивистской частицей, с точки зрения неподвижного наблюдателя. Затем, проверив уравнения с точки зрения симметрии, будем двигаться дальше.

2.3.1. Релятивистские преобразования кулоновского поля. если вы можете проделать это в рамках теории относительности, то сразу переходите к следующему разделу.

Пусть космическая частица движется вдоль оси а электрон находится на оси Выберем начало отсчета таким образом, чтобы при космическая частица находилась на минимальном расстоянии от электрона (рис. 2.4). По истечении времени космическая частица будет находиться в точке х в системе . В системе координаты электрона равны . В системе электрическое поле космической частицы осесимметрично относительно О и, следовательно, в точке нахождения электрона

Рис. 2.4. Системы отсчета .

где угол между положительным направлением оси х и направлением движения электрона. Найдем соотношение между временем, измеряемым наблюдателем, покоящимся вместе с электроном в системе и временем, измеряемым наблюдателем, движущимся с космической частицей

Но в силу нашего выбора начала отсчета для электрона в системе следовательно, Поэтому

Теперь, используя обратные преобразования для и В, перейдем от системы к системе

Поскольку получим

(кликните для просмотра скана)

Отметим, что

2.3.2. Релятивистские ионизационные потери. Следствия уравнений (2.12) для электрических и магнитных полей, связанных с релятивистски движущимся зарядом, очень важны и полезны. При космическая частица находится на минимальном расстоянии от электрона. При решение принимает обычную форму закона Кулона, как это и должно быть; когда частица релятивистская, поле электрона значительно усиливается, но на существенно более короткое время (рис. 2.5). Составляющая при в релятивистском случае увеличивается в у раз, а ширина импульса уменьшается в у раз. Компонент В ультрарелятивистском пределе импульс похож на электромагнитную волну с распространяющуюся в направлении

Вследствие симметрии составляющей поля электрон и в этом случае не получает от нее никакого импульса. Составляющая дает

Замена переменных дает

как и в уравнении (2.1). Этот результат, конечно, не должен быть для нас неожиданностью, поскольку уже из грубых прикидок следовало, что важную роль играет произведение на время столкновения, причем один из сомножителей увеличивается в у раз, а другой уменьшается в у раз.

Интегрирование по прицельному параметру выполняется так же, как в нерелятивистском случае, поэтому нужно лишь определить, какие значения поставить под знак логарифма. Правильное выражение можно найти, либо выяснив, как меняются значения при переходе к релятивистскому случаю, либо обобщив выражение на случай релятивистской космической частицы.

В первом подходе Ьтах увеличивается в у раз, потому что длительность импульса во столько же раз сокращается. При определении следует Учесть, что поперечный импульс электрона больше в у раз и поэтому

вследствие принципа неопределенности Таким образом, можно принять, что логарифмический член имеет форму

Второй подход — это полезное упражнение по теории относительности.

2.3.3. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ КОСМИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЕЙ И СТАЦИОНАРНЫМ ЭЛЕКТРОНОМ. Используем обозначение Риндлера для записи -вектора импульса космической частицы и электрона в лабораторной системе отсчета:

Компоненты -векторов записаны таким образом, чтобы их преобразования осуществлялись по типу Затем мы преобразуем компоненты обоих векторов с тем, чтобы записать их в системе отсчета, движущейся со скоростью для этой системы Удобно выбрать параллельно Следовательно,

В системе центра инерции и поэтому

В этой системе отсчета релятивистский -импульс электрона равен Приобретенная электроном энергия будет максимальна в том случае, если его направление после столкновения в точности противоположно первоначальному направлению движения. Поскольку столкновение упругое, импульс равен а полная энергия сохраняется. Теперь преобразуем этот импульс обратно в лабораторную систему отсчета: -импульс в системе равен . Теперь найдем «временной» компонент -вектора импульса в соответствии с обратным преобразованием Лоренца:

Следовательно, полная энергия в системе равна

Соответственно максимальная кинетическая энергия электрона есть

Теперь те и поэтому

В ультрарелятивистском пределе максимальная энергия, переданная электрону, равна

Используя это выражение для придем к тому же логарифмическому члену, что и прежде: